逆QEP问题

对于求解广义特征值问题的大多数迭代方法，如果目标是确定少数外部特征值和特征向量，那么公式（9.4），无论是与（9.5）还是与（9.10）结合，都是合适的。如果目标是计算一些模最小的特征值和特征向量，那么明显的转换是\mu=1/\lambda，并且在乘以QEP（9.1）后，我们得到逆QEP：

\left( M + \mu C + \mu^2 K \right) x = 0. \tag{9.12}

这里假设0不是原始QEP（9.1）的特征值，即K是非奇异的。

三元组\{K,C,M\}的QEP可以线性化，如在第9.2.2节中讨论的那样，例如，作为（9.4）与（9.5），其中M与K互换。我们可以用\lambda而不是\mu重新表述这个广义线性化特征问题，从而得到

A z = \frac{1}{\lambda} B z, \tag{9.13}

其中

A = \begin{bmatrix}{-C} & {-M} \\ {I} & {0}\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}{K} & {0} \\ {0} & {I}\end{bmatrix}, \quad z = \begin{bmatrix}{x} \\ {\lambda x}\end{bmatrix}. \tag{9.14}

注意，从因式分解

B - \lambda A =\begin{bmatrix}{I} & {\lambda M} \\ {0} & {I}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\lambda^2 M + \lambda C + K} & {0} \\ {0} & {I}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{I} & {0} \\ {-\lambda I} & {I}\end{bmatrix}

我们知道矩阵束B - \lambda A等价于

\begin{bmatrix}{\lambda^2 M + \lambda C + K} & {0} \\ {0} & {I}\end{bmatrix} .

由于\det(B - \lambda A) = \det( \lambda^2 M + \lambda C + K )，我们得出结论：矩阵束B - \lambda A是正则的当且仅当二次矩阵多项式\lambda^2 M + \lambda C + K是正则的，并且原始QEP（9.1）的特征值与矩阵束B - \lambda A的特征值一致。

对于特殊情况（9.2），我们可以用

A = \begin{bmatrix}{C} & {M} \\ {M} & {0}\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}{-K} & {0} \\ {0} & {M}\end{bmatrix}. \tag{9.15}

在这种情况下，两个矩阵都是厄米的，但不确定。用（9.15）线性化后，左乘（9.14）与块对角矩阵\mathrm{diag}(-I,-M)。因此，如果\mathrm{det}(M) \neq 0，那么矩阵束B - \lambda A是正则的当且仅当二次矩阵多项式\lambda^2 M + \lambda C + K是正则的。