转换为线性形式

不难看出，方程(9.1)中的二次特征值问题等价于以下广义的“线性”特征值问题：^[1]

A z = \lambda B z \quad \mathrm{and} \quad w^{\ast} A = \lambda w^{\ast} B , \tag{9.4}

其中

A = \begin{bmatrix}{0} & {I} \\ {-K} & {-C}\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}{I} & {0} \\ {0} & {M}\end{bmatrix} \tag{9.5}

以及

z = \begin{bmatrix}{x} \\ {\lambda x} \end{bmatrix}, \quad w = \begin{bmatrix}{(\lambda M + C)^{\ast} y } \\ {y} \end{bmatrix}. \tag{9.6}

广义特征值问题(9.4)通常被称为二次特征值问题(9.1)的线性化。可以证明，对于上述形式的任意矩阵A和B，右特征向量z和左特征向量w具有(9.6)中所描述的结构。

注意，从矩阵分解

A - \lambda B = \begin{bmatrix}{0} & {I} \\ {-I} & {-\lambda M - C}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{M + \lambda C + K} & {0} \\ {0} & {I}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{I} & {0} \\ {-\lambda I } & {I}\end{bmatrix}, \tag{9.7}

我们可以得出结论，矩阵束A - \lambda B与矩阵(9.8)是等价的，^[2]

\begin{bmatrix}{\lambda^2 M + \lambda C + K } & {0} \\ {0} & {I}\end{bmatrix} \tag{9.8}

并且

{\rm det}(A - \lambda B ) = {\rm det}(\lambda^2 M + \lambda C + K).

这意味着原始二次特征值问题(9.1)的特征值与广义特征值问题(9.4)的特征值一致。此外，我们有：

• L(\lambda)是正则的当且仅当A - \lambda B是正则的；
• 如果M（因此B）是非奇异的，则L(\lambda)是正则的；
• 如果K（因此A）是非奇异的，则L(\lambda)是正则的。

关于正则矩阵束(A,B)的理论，参见例如[425, Chap. VI]。我们将在本节假设至少M是非奇异的。

上述转换为线性形式的一个缺点是，如果矩阵M、C和K都是厄米的，这在简化形式(9.5)中没有体现，其中A是非厄米的。这可以通过以下方式修复。

实际上，(9.4)中的矩阵对(A,B)可以选择更一般的形式

A = \begin{bmatrix}{0} & {W} \\ {- K} & { - C}\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}{W} & {0} \\ {0} & { M}\end{bmatrix},

其中W可以是任意非奇异矩阵。注意，现在矩阵束A - \lambda B与矩阵多项式(9.8)等价当且仅当W是非奇异的，并且由于(9.7)，

\det( A - \lambda B ) = \det(W)\cdot \det( \lambda^2 M + \lambda C + K ).

例如，如果矩阵M、K和C都是对称的，如特殊情况(9.2)，且K是非奇异的，那么我们可以选择W = - K，从而得到以下对称广义“线性”特征值问题

A z = \lambda B z \quad \mathrm{and} \quad w^{\ast} A = \lambda w^{\ast} B , \tag{9.9}

其中

A = \begin{bmatrix}{0} & {-K} \\ {-K} & { -C}\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}{-K} & {0} \\ {0} & {M}\end{bmatrix}, \quad \tag{9.10}

以及

z = \begin{bmatrix}{x} \\ {\lambda x} \end{bmatrix}, \quad w = \begin{bmatrix}{y} \\ {\bar\lambda y} \end{bmatrix}. \tag{9.11}

A和B都是对称的，但可能是非定的。

1. “线性”一词之所以加引号，是因为 \lambda 也出现在特征向量中。
2. 两个大小为n \times n的矩阵多项式M_1(\lambda)和M_2(\lambda)被称为等价，如果存在一些n \times n的矩阵多项式E(\lambda)和F(\lambda)，其常数非零行列式（幺模），使得M_1(\lambda) = E(\lambda)M_2(\lambda)F(\lambda)。