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转换为线性形式

不难看出,方程(9.1)中的二次特征值问题等价于以下广义的“线性”特征值问题:[1]
Az=λBzandwA=λwB,(9.4)A z = \lambda B z \quad \mathrm{and} \quad w^{\ast} A = \lambda w^{\ast} B , \tag{9.4}
其中
A=[0IKC],B=[I00M](9.5)A = \begin{bmatrix}{0} & {I} \\ {-K} & {-C}\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}{I} & {0} \\ {0} & {M}\end{bmatrix} \tag{9.5}
以及
z=[xλx],w=[(λM+C)yy].(9.6)z = \begin{bmatrix}{x} \\ {\lambda x} \end{bmatrix}, \quad w = \begin{bmatrix}{(\lambda M + C)^{\ast} y } \\ {y} \end{bmatrix}. \tag{9.6}
广义特征值问题(9.4)通常被称为二次特征值问题(9.1)的线性化。可以证明,对于上述形式的任意矩阵AABB,右特征向量zz和左特征向量ww具有(9.6)中所描述的结构。

注意,从矩阵分解

AλB=[0IIλMC][M+λC+K00I][I0λII],(9.7)A - \lambda B = \begin{bmatrix}{0} & {I} \\ {-I} & {-\lambda M - C}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{M + \lambda C + K} & {0} \\ {0} & {I}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{I} & {0} \\ {-\lambda I } & {I}\end{bmatrix}, \tag{9.7}
我们可以得出结论,矩阵束AλBA - \lambda B与矩阵(9.8)是等价的,[2]
[λ2M+λC+K00I](9.8)\begin{bmatrix}{\lambda^2 M + \lambda C + K } & {0} \\ {0} & {I}\end{bmatrix} \tag{9.8}
并且
det(AλB)=det(λ2M+λC+K).{\rm det}(A - \lambda B ) = {\rm det}(\lambda^2 M + \lambda C + K).
这意味着原始二次特征值问题(9.1)的特征值与广义特征值问题(9.4)的特征值一致。此外,我们有: 关于正则矩阵束(A,B)(A,B)的理论,参见例如[425, Chap. VI]。我们将在本节假设至少MM是非奇异的。

上述转换为线性形式的一个缺点是,如果矩阵MMCCKK都是厄米的,这在简化形式(9.5)中没有体现,其中AA是非厄米的。这可以通过以下方式修复。

实际上,(9.4)中的矩阵对(A,B)(A,B)可以选择更一般的形式

A=[0WKC],B=[W00M],A = \begin{bmatrix}{0} & {W} \\ {- K} & { - C}\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}{W} & {0} \\ {0} & { M}\end{bmatrix},
其中WW可以是任意非奇异矩阵。注意,现在矩阵束AλBA - \lambda B与矩阵多项式(9.8)等价当且仅当WW是非奇异的,并且由于(9.7),
det(AλB)=det(W)det(λ2M+λC+K).\det( A - \lambda B ) = \det(W)\cdot \det( \lambda^2 M + \lambda C + K ).
例如,如果矩阵MMKKCC都是对称的,如特殊情况(9.2),且KK是非奇异的,那么我们可以选择W=KW = - K,从而得到以下对称广义“线性”特征值问题
Az=λBzandwA=λwB,(9.9)A z = \lambda B z \quad \mathrm{and} \quad w^{\ast} A = \lambda w^{\ast} B , \tag{9.9}
其中
A=[0KKC],B=[K00M],(9.10)A = \begin{bmatrix}{0} & {-K} \\ {-K} & { -C}\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}{-K} & {0} \\ {0} & {M}\end{bmatrix}, \quad \tag{9.10}
以及
z=[xλx],w=[yλˉy].(9.11)z = \begin{bmatrix}{x} \\ {\lambda x} \end{bmatrix}, \quad w = \begin{bmatrix}{y} \\ {\bar\lambda y} \end{bmatrix}. \tag{9.11}
AABB都是对称的,但可能是非定的。


  1. “线性”一词之所以加引号,是因为 λ\lambda 也出现在特征向量中。
  2. 两个大小为n×nn \times n的矩阵多项式M1(λ)M_1(\lambda)M2(λ)M_2(\lambda)被称为等价,如果存在一些n×nn \times n的矩阵多项式E(λ)E(\lambda)F(λ)F(\lambda),其常数非零行列式(幺模),使得M1(λ)=E(λ)M2(λ)F(λ)M_1(\lambda) = E(\lambda)M_2(\lambda)F(\lambda)


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Susan Blackford 2000-11-20