下一节:谱变换在二次特征值问题中的应用
上一级:二次特征值问题
上一节:引言
转换为线性形式
不难看出,方程(9.1)中的二次特征值问题等价于以下广义的“线性”特征值问题:[1]
Az=λBzandw∗A=λw∗B,(9.4)
其中
A=[0−KI−C],B=[I00M](9.5)
以及
z=[xλx],w=[(λM+C)∗yy].(9.6)
广义特征值问题(9.4)通常被称为二次特征值问题(9.1)的线性化。可以证明,对于上述形式的任意矩阵A和B,右特征向量z和左特征向量w具有(9.6)中所描述的结构。
注意,从矩阵分解
A−λB=[0−II−λM−C][M+λC+K00I][I−λI0I],(9.7)
我们可以得出结论,矩阵束A−λB与矩阵(9.8)是等价的,[2]
[λ2M+λC+K00I](9.8)
并且
det(A−λB)=det(λ2M+λC+K).
这意味着原始二次特征值问题(9.1)的特征值与广义特征值问题(9.4)的特征值一致。此外,我们有:
- L(λ)是正则的当且仅当A−λB是正则的;
- 如果M(因此B)是非奇异的,则L(λ)是正则的;
- 如果K(因此A)是非奇异的,则L(λ)是正则的。
关于正则矩阵束(A,B)的理论,参见例如[425, Chap. VI]。我们将在本节假设至少M是非奇异的。
上述转换为线性形式的一个缺点是,如果矩阵M、C和K都是厄米的,这在简化形式(9.5)中没有体现,其中A是非厄米的。这可以通过以下方式修复。
实际上,(9.4)中的矩阵对(A,B)可以选择更一般的形式
A=[0−KW−C],B=[W00M],
其中W可以是任意非奇异矩阵。注意,现在矩阵束A−λB与矩阵多项式(9.8)等价当且仅当W是非奇异的,并且由于(9.7),
det(A−λB)=det(W)⋅det(λ2M+λC+K).
例如,如果矩阵M、K和C都是对称的,如特殊情况(9.2),且K是非奇异的,那么我们可以选择W=−K,从而得到以下对称广义“线性”特征值问题
Az=λBzandw∗A=λw∗B,(9.9)
其中
A=[0−K−K−C],B=[−K00M],(9.10)
以及
z=[xλx],w=[yλˉy].(9.11)
A和B都是对称的,但可能是非定的。
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Susan Blackford
2000-11-20