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引言
在本节中,我们将探讨形式如下的二次特征值问题(QEP):
(λ2M+λC+K)x=0且y∗(λ2M+λC+K)=0,(9.1)
其中,M,K 和 C 是给定的 n×n 矩阵。非零的 n 维向量 x 和 y,以及相应的标量 λ 分别是右、左特征向量和特征值。
矩阵函数 L(λ)≡λ2M+λC+K 是矩阵多项式的一个特例,或称为 λ-矩阵;参见,例如 [187,284,194]。在此情况下,它是一个二次 λ-矩阵。矩阵函数 L(λ) 被称为正则,如果 det(L(λ)) 对所有 λ 都不恒为零。否则,它被称为奇异。
二次特征值问题的一个重要特例是当
M∗=M>0,C∗=C,且K∗=K>0.(9.2)
这些矩阵有时分别被称为质量、阻尼和刚度矩阵,源自机械工程模型;参见,例如 [145]。在一些问题中,刚度矩阵 K 仅是半正定的。在这种情况下,我们可以考虑一个平移的 QEP,将在第§9.2.3节讨论。
使 QEP 不同于标准特征问题 Ax=λx 或广义特征问题 Ax=λBx 的因素之一是,QEP 有 2n 个特征值,最多有 2n 个右(和左)特征向量。当然,在 n 维空间中,右(和左)特征向量不再构成独立集。这一点可以通过以下简单例子说明。三元组
M=[5124],C=[3006],K=[20012]
有 4 个不同的(但成对共轭的)特征值(四舍五入到五位小数):
λ1=−0.9396+1.5749i,λ3=−0.0049+0.6296i,λ2=−0.9396−1.5749i,λ4=−0.0049−0.6296i.
相关的特征向量(归一化使得第一个坐标等于 1)为:
x1=(1,−2.4756−0.9779i)T,x3=(1,0.0326−0.0132i)T,x2=(1,−2.4756+0.9779i)T,x4=(1,0.0326+0.0132i)T.
这四个特征向量显然是依赖的,但在实际问题中,每个特征向量可能代表系统的相关状态。
对于二次特征值问题,必须谨慎处理瑞利商。确实,给定 x 作为 QEP(参见第9.1节)的右特征向量,即
(λ2M+λC+K)x=0,
可以构造一个二次瑞利商:
λ2(x∗Mx)+λ(x∗Cx)+(x∗Kx)=0.(9.3)
然而,这个方程有两个根;其中一个根是特征值,另一个根可能是虚假的。例如,如果我们用 (λ1,x1) 计算二次瑞利商,那么显然,(λ1,x1) 满足方程(9.3)。如果我们解方程(9.3),我们会找到两个根
μ1=−0.9396+1.5749i, μ2=−0.8776−1.6057i。我们看到 λ1 被 μ1 恢复,而另一个根没有意义。
为了决定哪一个是要找的,哪一个是虚假的,可以计算残差向量
rμ≡(μ2M+μC+K)x1,
这导致 ∥rμ1∥2≈8.4×10−14, ∥rμ2∥2≈12.5,在这种情况下,清楚地指出 μ2 不是特征值。我们不能排除在人为设计的例子中可能做出错误选择,这可能导致特定的迭代求解方法延迟。
对于更一般的矩阵,我们可能会有缺陷,就像标准特征问题一样,这意味着不一定存在完整的特征向量集。在下一节中,我们将把 QEP 与广义标准问题联系起来,这有助于更深入地理解这一问题。
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Susan Blackford
2000-11-20