引言

在本节中，我们将探讨形式如下的二次特征值问题（QEP）：

(\lambda^2 M + \lambda C + K)x = 0 \quad\mathrm{且}\quad y^{\ast} (\lambda^2 M + \lambda C + K ) = 0, \tag{9.1}

其中，M, K 和 C 是给定的 n \times n 矩阵。非零的 n 维向量 x 和 y，以及相应的标量 \lambda 分别是右、左特征向量和特征值。

矩阵函数 L(\lambda) \equiv \lambda^2 M + \lambda C + K 是矩阵多项式的一个特例，或称为 \lambda-矩阵；参见，例如 [187,284,194]。在此情况下，它是一个二次 \lambda-矩阵。矩阵函数 L(\lambda) 被称为正则，如果 \det(L(\lambda)) 对所有 \lambda 都不恒为零。否则，它被称为奇异。

二次特征值问题的一个重要特例是当

M^{\ast} = M > 0, \quad C^{\ast} = C, \quad \mathrm{且} \quad K^{\ast} = K > 0. \tag{9.2}

这些矩阵有时分别被称为质量、阻尼和刚度矩阵，源自机械工程模型；参见，例如 [145]。在一些问题中，刚度矩阵 K 仅是半正定的。在这种情况下，我们可以考虑一个平移的 QEP，将在第§9.2.3节讨论。

使 QEP 不同于标准特征问题 Ax = \lambda x 或广义特征问题 Ax = \lambda Bx 的因素之一是，QEP 有 2n 个特征值，最多有 2n 个右（和左）特征向量。当然，在 n 维空间中，右（和左）特征向量不再构成独立集。这一点可以通过以下简单例子说明。三元组

M=\left[ \begin{array}{cc}5 & 2 \\1 & 4\end{array} \right], \quad C=\left[ \begin{array}{cc}3 & 0 \\0 & 6\end{array} \right], \quad K=\left[ \begin{array}{cc}2 & 0 \\0 & 12\end{array} \right]

有 4 个不同的（但成对共轭的）特征值（四舍五入到五位小数）：

\begin{array}{ll}\lambda_1=-0.9396+ 1.5749i, & \lambda_2=-0.9396- 1.5749i, \\ \lambda_3=-0.0049+ 0.6296i, & \lambda_4=-0.0049- 0.6296i. \\\end{array}

相关的特征向量（归一化使得第一个坐标等于 1）为：

\begin{array}{ll}x_1= (1, -2.4756-0.9779i)^T, & x_2= (1, -2.4756+0.9779i)^T, \\ x_3= (1, 0.0326-0.0132i)^T, & x_4= (1, 0.0326+0.0132i)^T. \\\end{array}

这四个特征向量显然是依赖的，但在实际问题中，每个特征向量可能代表系统的相关状态。

对于二次特征值问题，必须谨慎处理瑞利商。确实，给定 x 作为 QEP（参见第9.1节）的右特征向量，即

( \lambda^2 M + \lambda C + K ) x = 0,

可以构造一个二次瑞利商：

\lambda^2 ( x^{\ast} M x ) +\lambda ( x^{\ast} C x ) + ( x^{\ast} K x) = 0. \tag{9.3}

然而，这个方程有两个根；其中一个根是特征值，另一个根可能是虚假的。例如，如果我们用 (\lambda_1,x_1) 计算二次瑞利商，那么显然，(\lambda_1,x_1) 满足方程（9.3）。如果我们解方程（9.3），我们会找到两个根 \mu_1=-0.9396+1.5749i, \mu_2=-0.8776-1.6057i。我们看到 \lambda_1 被 \mu_1 恢复，而另一个根没有意义。

为了决定哪一个是要找的，哪一个是虚假的，可以计算残差向量

r_{\mu}\equiv (\mu^2 M +\mu C + K) x_1 ,

这导致 \Vert r_{\mu_1}\Vert _2\approx 8.4 \times 10^{-14}, \Vert r_{\mu_2}\Vert _2\approx 12.5，在这种情况下，清楚地指出 \mu_2 不是特征值。我们不能排除在人为设计的例子中可能做出错误选择，这可能导致特定的迭代求解方法延迟。

对于更一般的矩阵，我们可能会有缺陷，就像标准特征问题一样，这意味着不一定存在完整的特征向量集。在下一节中，我们将把 QEP 与广义标准问题联系起来，这有助于更深入地理解这一问题。