逆迭代

如果我们能够对一个位移\sigma分解A - \sigma \, B，我们就可以将逆迭代推广到计算问题(5.1)在\sigma附近的特征值，如算法5.2所示。

算法5.2：广义厄米特征值问题的逆迭代
(1) 开始于猜测向量 y
(2) for k = 1,2,\dots
(3)     计算 w = By
(4)     \eta = (w^*y)^{1/2}, \; v = y/\eta, \; w = w / \eta
(5)     计算 y = (A-\sigma B)^{-1}w
(6)     \theta = w^*y
(7)     如果 \Vert (1/\theta)y - v\Vert_2 \le \epsilon_M，停止
(8) end for
(9) 获得结果 \lambda = \sigma + 1/\theta, \; x = y/\theta

以下是关于此算法的一些注释。在步骤(3)中我们乘以B，而在步骤(5)中我们解一个以位移矩阵A-\sigma B为系数的线性方程组。在实际应用中，我们会先进行一次稀疏高斯消元，并在后续操作中使用其L和U因子。步骤(4)确保向量v具有单位B范数。量\theta是一个瑞利商，

\theta=w^{\ast}y=w^{\ast}(A-\sigma B)^{-1}w=v^{\ast}B(A-\sigma B)^{-1}Bv. \tag{5.7}

在步骤(7)中我们测试一个残差向量，

r=(1/\theta)y-v=(A-\sigma B)^{-1}(\tilde{\lambda}B-A)v,

其中\tilde{\lambda}=\sigma+1/\theta是当前的近似特征值。逆迭代的收敛条件与标准厄米特征值问题类似。