特征分解

我们将讨论四种特征分解方法，或者说四种等价于A - \lambda B的矩阵束，这些方法在求解特征问题时更为简便。本节内容类似于第2.5.4节。

第一种特征分解，即对角形式，仅在存在n个独立特征向量时才存在。 第二种，Weierstrass形式，将对角形式推广到所有特征多项式p(\lambda)不恒为零的矩阵束。我们也可以将Weierstrass形式描述为将Jordan形式矩阵推广到矩阵束。 与Jordan形式类似，Weierstrass形式可能非常病态（实际上，它可能会不连续变化），因此在数值计算中我们通常使用第三种，广义Schur形式，它在计算上更经济且更稳定。 我们简要提及第四种，我们称之为Weierstrass-Schur形式 ¹，它与Schur形式一样稳定，但能计算出Weierstrass形式提供的关于收缩子空间的某些详细信息。

定义\Lambda = {\rm diag}(\lambda_1 ,\ldots, \lambda_n )。如果存在n个独立的右特征向量x_1,\ldots,x_n，我们定义X = [x_1,\ldots,x_n]。X被称为A的（右）特征向量矩阵。类似地，令Y = [y_1,\ldots,y_n]为左特征向量矩阵。2n个等式A x_i = \lambda_i B x_i和y_i^* A = \lambda_i y_i^* B对于i=1,\ldots,n也可以写成 AX = BX \Lambda和 Y^*A = \Lambda Y^* B。X和Y还可以选择使得 Y^*AX = \Lambda_A和 Y^*BX = \Lambda_B均为对角矩阵，并且 \Lambda = \Lambda_A \Lambda_B^{-1} ²。如下分解

A - \lambda B = Y^{-*} ( \Lambda_A - \lambda \Lambda_B) X^{-1}

被称为A - \lambda B的对角形式。在这种情况下，我们称A - \lambda B为可对角化的。

如果我们取X和Y的k列（例如\hat{X}= X(:,[2,3,5]) = 第2、3和5列，\hat{Y}= Y(:,[2,3,5])），那么这些列张成了A - \lambda B的一对收缩子空间。 如果我们取相应的子矩阵 \hat{\Lambda}_A = {\rm diag}(\lambda_{A,2} , \lambda_{A,3} , \lambda_{A,5} ) 和 \hat{\Lambda}_B = {\rm diag}(\lambda_{B,2} , \lambda_{B,3} , \lambda_{B,5} )，那么我们可以写出相应的部分对角形式为 \hat{Y}^* A \hat{X}= \hat{\Lambda}_A和\hat{Y}^* B \hat{X}= \hat{\Lambda}_B。如果\hat{X}和\hat{Y}的列被k个不同的向量替换，这些向量张成了相同的收缩子空间，那么我们将得到一个不同的部分特征分解 \check{Y}^* A \check{X}= \check{A}和\check{Y}^* B \check{X}= \check{B}，其中\check{A}- \lambda \check{B}是一个k乘k的矩阵束，其特征值是\hat{\Lambda}= \hat{\Lambda}_A \hat{\Lambda}_B^{-1}的特征值，尽管\check{A}- \lambda \check{B}可能不是对角的。类似的生成部分特征分解的方法也适用于下面讨论的其他特征分解。

如果所有的\lambda_i都是不同的，那么存在n个独立的特征向量，对角形式存在。这是最简单且最常见的情况。例如，如果随机选取A和B ³，特征值不同的概率为1。

在第2.5.4节中，矩阵束A(0) - \lambda I的对角形式不存在，因为它只有一个独立的特征向量。相反，我们可以计算它的Weierstrass形式，它是如下分解

A - \lambda B = Y^{-*}(J_A - \lambda J_B)X^{-1},

其中J_A - \lambda J_B是一个块对角矩阵束，每个特征值有一个或多个上三角对角块。当没有无限特征值时，这与第2.5.4节中讨论的Jordan形式相同。当存在无限特征值时，存在类似于Jordan块的块，具有单个无限特征值和一个右和左特征向量 ⁴。可以证明，Weierstrass形式明确描述了A - \lambda B的所有可能收缩子空间，这些子空间由X和Y的某些列子集张成[187]。

不幸的是，Weierstrass形式通常不适合数值计算，原因与Jordan形式不适合相同。详见第2.5.4节。

因此，我们使用以下形式的特征分解

A - \lambda B = Z(T_A - \lambda T_B)Q^*,

其中Q和Z是酉（或正交）矩阵，T_A - \lambda T_B是三角（或准三角）矩阵。这被称为A - \lambda B的广义Schur形式。 当A - \lambda B是复矩阵，或者实矩阵且所有特征值都是实数或无限时，T_A - \lambda T_B是三角矩阵，其对角线上是A - \lambda B的特征值。 当A - \lambda B是实矩阵且具有复特征值，且Q是实正交矩阵时，T_A - \lambda T_B不能是实三角矩阵。 不过，我们允许T_A - \lambda T_B的对角线上出现具有复特征值的2乘2块，我们称之为准三角形式。为了简化表述，我们仅考虑复数情况，此时T_A - \lambda T_B是三角矩阵。 设\lambda_1 = T_{A,11}/T_{B,11} ,\ldots,\lambda_n = T_{A,nn}/T_{B,nn}为对角线上特征值的顺序；每种顺序都有一个不同的广义Schur形式。Q和Z的列被称为广义Schur向量。 广义Schur形式不像对角形式和Weierstrass形式那样明确给出特征向量和所有收缩子空间的基，但它可以相当稳定地计算。 Q和Z的前k列张成了特征值\lambda_1到\lambda_k的右和左收缩子空间，但所有其他特征空间需要计算。 例如，右特征向量可以通过从T_A - \lambda T_B解一个三角方程组并乘以Q来计算。

最后，我们考虑Weierstrass-Schur形式。它相当复杂，因此我们在这里仅总结其特性。与Schur形式一样，它仅使用酉（正交）变换，因此可以稳定地计算。与Weierstrass形式一样，它明确显示了（Jordan）块的大小，并给出了比Schur形式更多的不变子空间的明确基。

许多教科书给出了使用A - \lambda B的Weierstrass形式求解常微分方程B \dot{x} (t) = A x(t)的显式解[114]。这些方法在数值上应避免使用，因为计算Weierstrass形式很困难。几乎所有这些问题都有基于广义Schur形式或某些情况下的Weierstrass-Schur形式的替代解法。

1. 在文献中，它通常被称为阶梯形式（staircase form），但我们认为使用Weierstrass-Schur形式更为恰当。
2. 在所有特征值均不相同的一般情况下，我们可以通过以下步骤来理解这一点：首先，将AX = BX \Lambda乘以Y^*，并将Y^*A = \Lambda Y^* B乘以X，得到\Lambda Y^*BX = Y^*AX = Y^*BX \Lambda。由此可得，\Lambda Y^*BX = Y^*BX \Lambda意味着Y^*BX = \Lambda_B必须是对角矩阵，因此Y^*AX = \Lambda_A = \Lambda_B \Lambda同样是对角矩阵。
3. 例如，可以从 (-1,1) 或实数的其他开区间中，独立且随机地选择每一个元素。
4. 这些块形如 I - \lambda J(0)，其中 J(0) 是特征值为零的 Jordan 块