算法性质

尽管矩阵 A 的复对称性对其特征值没有影响，但这种特殊结构可以被利用，从而将一般的非厄米Lanczos方法的计算和存储需求减半，如第§7.8节所述。实际上，非厄米Lanczos方法在每次迭代中涉及一次与 A 和一次与 A^* 的矩阵向量乘积，而复对称Lanczos方法在每次迭代中仅需要一次与 A 的矩阵向量乘积。

经过 j 次迭代后，复对称Lanczos方法生成了 j 个Lanczos向量，

v_1,v_2,\ldots,v_j, \tag{7.94}

这些向量张成了由复对称矩阵 A 和任意非零初始向量 b 生成的第 j 个Krylov子空间 {\mathcal K}^j(A,b)。这些向量（参见7.94）被构造为复正交的：

V_j^T V_j = I_j,\quad \mathrm{其中}\quad V_j = \left[ \begin{array}{cccc}v_1 & v_2 & \cdots & v_j\end{array} \right]. \tag{7.95}

注意到，考虑到可对角化的复对称矩阵 A 的特征分解（参见7.91），Lanczos向量的复正交性（参见7.95）是自然的。

复对称Lanczos算法通过三项递归关系计算这些向量（参见7.94），可以总结如下：

A V_j = V_j T_j + \left[ \begin{array}{cccc}0 & \cdots & 0 & \hat{v}_{j+1}\end{array} \right]. \tag{7.96}

这里，

T_j = T_j^T = \begin{bmatrix} \alpha_1 & \beta_2 & & \\ \beta_2 & \alpha_2 & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & \beta_j \\ & & \beta_j & \alpha_j \end{bmatrix} \tag{7.97}

是一个复对称的三对角矩阵，其元素是三项递归的系数。向量 \hat{v}_{j+1} 是下一个Lanczos向量 v_{j+1} 的候选，它被构造为满足正交条件

V_j^T \hat{v}_{j+1} = 0 \tag{7.98}

并且只需归一化使得 v_{j+1}^T v_{j+1}=1。然而，不能排除以下情况：

\hat{v}_{j+1}^T \hat{v}_{j+1} = 0,\quad \mathrm{但}\quad\hat{v}_{j+1}\not=0. \tag{7.99}

如果（参见7.99）发生，则无法通过简单归一化 \hat{v}_{j+1} 来获得下一个向量 v_{j+1}，因为这将需要除以零。因此，（参见7.99）被称为复对称Lanczos算法的中断。中断可以通过在算法中加入前瞻来修复。这里，为了简单起见，我们限制自己使用没有前瞻的复对称Lanczos算法，并且在遇到中断（参见7.99）时简单地停止算法。

经过 j 次复对称Lanczos算法迭代后，通过计算 T_j 的特征解，可以得到复对称特征值问题（参见7.88）的近似特征解，

T_j z_i^{(j)} = \theta_i^{(j)} z_i^{(j)},\quad i=1,2,\ldots,j. \tag{7.100}

每个值 \theta_i^{(j)} 及其Ritz向量 x_i^{(j)} = V_j z_i^{(j)} 产生 A 的一个近似特征对。注意到 T_j 是 A 在由Lanczos基矩阵 V_j 张成的空间上的复正交投影，即

T_j = V_j^T A V_j. \tag{7.101}

确实，通过从左边乘以 V_j^T 并利用正交关系（参见7.95）和（参见7.98），可以得出这一关系。当然，在复对称Lanczos算法中，矩阵 T_j 不是通过关系（参见7.101）计算的。相反，利用定义（参见7.97）中的对称三对角结构，仅显式生成 T_j 的对角线和次对角线元素。

应该指出，V_j 是复正交的，但不是酉的，这可能会影响数值稳定性。