复对称矩阵的性质

复对称性是一种纯代数性质，它对矩阵的谱没有影响。 确实，对于任何给定的 n 个数，

\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n \in {\mathcal C}, \tag{7.89}

存在一个复对称 n \times n 矩阵 A，其特征值正是这些预先指定的数 (7.89)；参见，例如 [233, 定理 4.4.9]。

一个复对称矩阵甚至可能不可对角化。 例如，考虑复对称矩阵

A = \left[\begin{array}{cc} 2 {\tt i} & 1\\1 & 0\end{array} \right],\quad\mathrm{其中}\quad {\tt i} = \sqrt{-1}. \tag{7.90}

该矩阵的唯一特征值是 \lambda={\tt i}，具有代数重数 2 但几何重数 1。 实际上，A 的 Jordan 标准型如下：

Z^{-1} A Z = \left[\begin{array}{cc} {\tt i} & 1\\0 & {\tt i}\end{array} \right].

因此，A 不可对角化。

如果一个复对称矩阵 A 可对角化，则它具有反映复对称性的特征分解；参见，例如 [233, 定理 4.4.13]。 更确切地说，复对称矩阵 A 可对角化当且仅当其特征向量矩阵 Z 可以选择为

Z^T A Z = \Lambda = {\mathop{\rm diag}\nolimits}\left(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\right)\quad \mathrm{且}\quad Z^T Z = I_n. \tag{7.91}

满足 Z^T Z = I_n 的矩阵 Z 称为复正交矩阵。 在 (7.91) 中 Z 的复正交性反映了 A 的复对称性。

我们注意到，特征分解 (7.91) 是对厄米矩阵相应分解的适当适应。 回想一下，对于任何矩阵 A=A^{\ast}，特征向量矩阵 Z 总是可以选择为酉矩阵：

Z^{\ast} A Z = \Lambda = {\mathop{\rm diag}\nolimits}\left(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\right)\quad \mathrm{且}\quad Z^{\ast} Z = I_n. \tag{7.92}

在 (7.92) 中 Z 的酉性反映了 A 是厄米矩阵的事实。

特征分解 (7.91) 并不总是存在的原因是存在复向量 z 满足

z^T z = 0,\quad \mathrm{但}\quad z\not=0. \tag{7.93}

确实，假设 A 有一个一维特征空间对应的特征值，且该空间由满足 (7.93) 的向量 z 张成。 那么，A 的任何特征向量矩阵 Z 的一列将是形式 z_k = \gamma z，其中 \gamma\not=0 是标量。 然后，根据 (7.93)，z_k^T z_k = 0，而复正交条件 Z^T Z = I_n 在 (7.91) 中将意味着 z_k^T z_k =1。 注意，例如 (7.90)，向量 z=\left[\begin{array}{cc} {\tt i} & 1 \end{array}\right]^T 张成了与 \lambda={\tt i} 相关联的一维特征空间，并且满足 (7.93)。