Golub-Kahan-Lanczos方法

我们已经了解到，厄米特征值问题与奇异值分解密切相关。矩阵A的奇异值是厄米矩阵A^{\ast} A的特征值的平方根。因此，我们可以通过对A^{\ast} A应用厄米Lanczos方法来计算奇异值。该算法所需的矩阵-向量乘积可以计算为A^{\ast} (A q)的形式。

在本节中，我们考虑将第4.4节所述的Lanczos方法应用于H(A)。H(A)的特殊结构使得我们可以选择一个特殊的起始向量，从而得到一个更经济的算法，该算法生成两个向量序列，一个用于覆盖左奇异向量，另一个用于右奇异向量。此外，它将A简化为双对角形式B；即，B仅在主对角线和第一上对角线上非零。我们从基本原理出发推导该方法，然后展示它与第4.4节所述的Lanczos方法的关系。

小节

• Golub-Kahan-Lanczos双对角化过程
• 与对称Lanczos的关系