与对称Lanczos方法的关系。

从方程(6.7)、(6.8)和 (6.9)中，我们有

A^{\ast} A V_k = V_k B^*_k B_k + \alpha_k \beta_{k}v_{k+1}e^*_k.

我们注意到B^*_k B_k是对称的且三对角的，因为B_k是双对角的。 与方程(4.10)比较，我们可以看到 算法(6.1) 计算的信息与 应用于厄米矩阵A^{\ast} A的Lanczos方法（算法(4.6)）相同。 相反，如果我们对A^* A应用Lanczos方法得到一个三对角矩阵 T_k = B^*_k B_k，那么B_k可以通过取T_k的上三角Cholesky因子得到。

类似地，我们得到

AA^* U_k = U_k B_k B_k^* + \beta_k (A v_{k+1}) e_k^*.

同样，B_k B_k^*是对称的且三对角的。 所以再次与方程(4.10)比较，我们可以看到 算法(6.1) 计算的信息与 应用于厄米矩阵AA^*的Lanczos方法（算法(4.6)）相同。 相反，如果我们对AA^*应用Lanczos方法得到一个三对角矩阵 T_k = B_k B_k^*，那么B_k可以通过取JT_kJ的上三角Cholesky因子B'得到，其中J是 其列按逆序排列的单位矩阵 （因此JT_kJ是通过反转T_k的行和列的顺序得到的），然后B_k = JB'J。

最后，假设我们使用特殊的起始向量

z_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ v_1 \end{bmatrix}

对H(A)应用Lanczos方法（算法(4.6)） 生成Lanczos向量z_2, z_3,\ldots. 算法(4.6)的第一步产生

\begin{aligned} r &= H(A)z_1 = \begin{bmatrix} Av_1 \\ 0\end{bmatrix}, \\ \hat{\alpha}_1 &= r^*z_1 = 0, \\ r &= r - 0*z_1, \\ \hat{\beta}_1 &= \Vert r \Vert_2, \\ z_2 &= r/\hat{\beta}_1, \\ &= \begin{bmatrix} u_1 \\ 0 \end{bmatrix}. \end{aligned}

其中 u_1 在算法(6.1)中的第(5)行计算得到。

算法(4.6)的下一步产生

\begin{aligned} r &= H(A)z_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ A^*u_1\end{bmatrix}, \\ \hat{\alpha}_2 &= r^*z_2 = 0, \\ r &= r - 0*z_2 - \hat{\beta}_1 z_1 = \begin{bmatrix}0 \\ Au_1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0 \\ \hat{\beta}_1 v_1\end{bmatrix}, \\ \hat{\beta}_2 &= \Vert r \Vert_2, \\ z_3 &= r/\hat{\beta}_2, \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ v_2 \end{bmatrix}. \end{aligned}

其中 v_2 在算法(6.1)中的第(8)行计算得到。

继续这种方式，我们可以看到算法(4.6)的两步计算的信息 与算法(6.1)的一步相同：

z_{2i-1} = \begin{bmatrix} 0 \\ v_i \end{bmatrix}\; \; {\rm and} \; \;z_{2i} = \begin{bmatrix} u_i \\ 0 \end{bmatrix}.

然而，算法(4.6)进行了两倍的矩阵-向量乘法 通过A和A^*与算法(6.1) （其中一半是通过零向量的乘法），因此 算法(6.1)通常会使用一半的时间和空间。 相反，如果对H(A)应用Lanczos方法得到一个 三对角矩阵T_k，那么T_k的对角线上会有零， 非对角线元素将与B_k（从方程(6.4)的符号）的非零元素相同：

T_{2k} = \begin{bmatrix} 0 & \alpha_1 & & & & & \\ \alpha_1 & 0 & \beta_1 & & & \\ & \beta_1 & 0 & \alpha_2 & & \\ & & \alpha_2 & 0 & \beta_2 & \\ & & & \beta_2 & 0 & \ddots \\ & & & & \ddots & \ddots & \alpha_k \\ & & & & & \alpha_k & 0 \end{bmatrix}.

由于这些等价性，第§4.4节中Lanczos的所有算法变体 和收敛性质都适用于 算法(6.1)。