可用算法的概述

当矩阵 A 的规模不是太大，以至于可以作为稠密的 m 乘 n 矩阵存储和操作时，存在一些变换方法来计算 A 的奇异值分解（SVD）。这些算法在 LAPACK [12]、ScaLAPACK [52] 和 MATLAB 中都有提供，并在第 6.2 节中进行了讨论。

本书的重点在于迭代方法，其中矩阵 A 以稀疏形式存储和操作。第 4 章讨论的针对厄米特征值问题的迭代方法可以应用于上述三种厄米矩阵 AA^*、A^* A 或 H(A) 之一。我们不会重复这些内容，而是根据所需的奇异值和向量、选择 AA^*、A^* A 还是 H(A)、A 的奇异值分布、A 的稀疏结构、是否使用移位-反演等，从第 4 章讨论不同方法的优缺点。

为此，我们注意到，对于诸如计算 A 在给定区间 [\alpha, \beta] 内的奇异值数量这样的任务，并不需要计算奇异值本身，因此可以大大降低成本。关键工具是矩阵惯性，如第 4.1 节（第 页）所述。它可以轻松扩展以应用于上述三种厄米矩阵 AA^*、A^* A 或 H(A) 之一。