关于聚集特征值的评述

当特征值 \lambda 与矩阵 A 的一个或多个其他特征值非常接近时，换句话说，当 \lambda 属于聚类特征值时，根据（4.54）的保证，只要 \Vert r\Vert _2 很小，计算得到的 \widetilde\lambda 仍然是准确的，但由于（4.56）中分母出现的间隙 \delta，计算得到的特征向量 \widetilde x 可能不准确。事实证明，与聚类特征值相关的每个单独特征向量对扰动非常敏感，但由所有这些特征向量张成的特征空间则不然。因此，对于聚类特征值，我们应该计算整个特征空间。 基于上述思路的理论可以建立，从残差矩阵开始

R=A\widetilde X-\widetilde X\widetilde\Lambda,

其中 \widetilde\Lambda 是对角矩阵，其对角元素是聚类中所有特征值的近似值，而 \widetilde X 的列是对应的近似特征向量。假设 \widetilde X 的列是正交的，并且 \widetilde\Lambda 比 \Lambda 更接近，\Lambda 是对角矩阵，其对角元素是聚类中的所有特征值。设 X 是与 \Lambda 相关的特征向量矩阵，\delta 是 \widetilde\Lambda 对角线上任意近似特征值与 A 中未出现在 \Lambda 对角线上的特征值之间的最小差值。那么 [101]

\Vert\sin\Theta(X,\widetilde X)\Vert _{F}\le\frac {\Vert R\Vert _{F}}{\delta},

其中 \Theta(X,\widetilde X) 是对角矩阵，其对角元素是 X^*\widetilde X 的奇异值的反余弦值。由于其定义方式，预计这个间隙会很大，因此只要 \Vert R\Vert _{F} 很小，\Vert\sin\Theta(X,\widetilde X)\Vert _{F} 也会很小。