关于高相对精度特征值计算的评述

过去10年左右，高精度特征值计算一直备受关注。在理论理解和数值算法方面都取得了巨大进展。但详细介绍超出了本书的范围。感兴趣的读者可参考相关文献。在算法方面，有Demmel-Kahan QR方法用于双对角奇异值计算[123]，以及（双侧）Jacobi方法用于正定矩阵的特征值问题。对于奇异值计算[124,317,406]，有针对缩放对角占优矩阵的二分法[40]，以及针对无环图矩阵的新qd方法实现[117,255]和Demmel的结构化矩阵算法[115]。最近，[118]展示了如何为可精确分解为B=X\Gamma Y^*的矩阵计算高相对精度的SVD，其中\Gamma是对角矩阵，X和Y是任意良态矩阵。在理论方面，对于乘性扰动A\to\widetilde A=D^*AE（当A是厄米矩阵时E=D），得到了许多关于绝对扰动的著名定理的类似结果[157,300,301,302,303,297]。