利用决策树选择模板

特征值问题及其相关数值算法可根据以下属性进行分类：

1. 问题的数学属性：它是厄米（实对称、自伴）问题还是非厄米特征值问题？它是仅涉及一个矩阵的标准问题，还是涉及两个矩阵的广义问题？基于这些问题及其他因素，第2章确定了六种数学类型的特征值问题，这是决策树的顶端。第4章至第9章分别处理这六种类型中的一种。

2. 所需的谱信息：我们是否只需要最小的特征值，谱两端的一些特征值，谱内“内部”的某个子集的特征值，还是大多数特征值？我们是否需要相关的特征向量、不变子空间或其他量？所需的精度是多少？

3. 可用操作及其成本： 我们能否将完整矩阵存储为数组并对其进行相似变换？ 我们能否通过直接分解方法或可能是迭代方法来解矩阵（或移位矩阵）的线性系统？ 或者我们只能将矩阵及其转置乘以向量？ 如果这些操作中有某几个是可能的，它们的相对成本是多少？

基于所需的谱信息、可用操作及其成本，第4章至第9章的前几节对选择它们介绍的算法之一提出了建议。这些建议在适当的情况下以表格形式总结；见表4.1、5.1和7.1。

目前的技术水平是，我们并没有针对用户可能提出的所有特征值问题的有效算法。 例如，假设用户想要一个n \times n矩阵A的所有最接近虚轴的特征值，其中特征值遍布整个复平面，但唯一可用的操作是将A乘以一个向量。那么我们没有一种算法同时是高效的（即，执行远少于n次矩阵向量乘法）和可靠的（即，保证或极有可能找到所有特征值在用户指定的虚轴距离内）。这些限制在正文中进行了讨论。