特征值与特征向量

A - \lambda B 的奇异情况对应于以下两种情形之一：

• A - \lambda B 是方阵且对所有 \lambda 值都奇异，或者
• A - \lambda B 是矩形阵。

这两种情况在实际应用中都会出现，并且比常规情况更具挑战性。我们在这里概述相关理论，详细内容请参见第8.7节。

考虑以下表达式：

A - \lambda B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} -\lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.

于是，p(\lambda ) = {\rm det} (A - \lambda B) \equiv 0 对所有 \lambda 都成立，因此 A - \lambda B 是奇异的。对于任意 \lambda，当 x = [0,1]^T 时，Ax = \lambda Bx = 0 成立。但我们并不将所有 \lambda 都称为特征值，而是仅将 1 称为该矩阵束的特征值，因为对于 x = [1,0]^T，Ax = 1 \cdot Bx 成立，且 A-1 \cdot B 的秩为 0，这低于 A - \lambda B 对于其他任何 \lambda 值的秩。一般而言，如果 A - \mu B 的秩低于 A - \lambda B 在其他所有 \lambda 值下的秩，那么 \mu 就是特征值。

当矩阵束奇异时，特征值是矩阵元素的不连续函数，这是我们在定义时必须谨慎的原因之一。这种不连续性将在下文进一步讨论。

特征向量的定义也不再那么简单。例如，考虑以下表达式：

A - \lambda B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}-\lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

此时，1 是特征值，但对于任意 x = [z,z,1]^T 和任意 z 值，Ax = 1 \cdot Bx 成立。因此，我们转而考虑约化子空间（reducing subspace），定义见下一小节。