特征值与特征向量

多项式 p(\lambda) = {\rm det}(\lambda B-A) 是 A - \lambda B 的特征多项式。 p(\lambda) 的次数最多为 n。 p(\lambda)=0 的根被称为 A - \lambda B 的有限特征值。 如果 p(\lambda) 的次数为 d < n，我们称 A - \lambda B 还有 n-d 个无穷特征值。 例如，

A - \lambda B = \begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 0 \end{bmatrix} - \lambda\begin{bmatrix} 2 & & \\ & 0 & \\ & & 1 \end{bmatrix}

的特征多项式为 p( \lambda ) = (1 - 2 \cdot \lambda)(1 - 0 \cdot \lambda)(0 - 1 \cdot \lambda)= 2 \lambda^2 - \lambda， 因此其特征值为 0.5、\infty 和 0。

如果 \lambda 是有限特征值， 满足 Ax = \lambda Bx 的非零向量 x 是特征值 \lambda 的（右）特征向量。 满足 y^* A = \lambda ^* B 的非零向量 y 是左特征向量。

如果 \infty 是特征值，满足 Bx=0 和 y^*B = 0 的非零向量 x 和 y 分别被称为右特征向量和左特征向量。

一个 n 阶矩阵束 A - \lambda B 不一定有 n 个独立的特征向量。 最简单的例子是第2.5.1节中讨论的由(2.3)式构造的 A( \epsilon ) - \lambda I。 这一事实（尽管每个不同的特征值至少有一个特征向量）必然会使 GNHEP 的理论和算法变得复杂。

由于特征值可能是复数或无穷大，因此没有固定的排序方式。 尽管如此，为了方便，我们通常将其编号为 \lambda_1 ,\ldots,\lambda_n， 相应的右特征向量为 x_1,\ldots,x_n 和左特征向量为 y_1,\ldots,y_n（如果存在）。