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内积、梯度与微分

在平坦空间中,我们通常将函数的微分与其梯度等同起来。然而,在更一般的情境下,这样的定义可能会让人难以理解。

例如,梯度是一个向量,我们应该可以将向量视为点的无穷小位移。在 \mathrm{Stief}(n,k)中,任何无穷小位移\delta Y必须满足 \delta Y^* Y + Y^* \delta Y = 0。因此,df不一定总是向量,因为它不一定满足这个方程。梯度应该是一个无穷小位移,指向将使f增加最大的位移方向。

然而,如果切空间具有内积,我们可以找到一种有用的方式将df唯一地与切向量对应起来。设ip(H_1,H_2)\mathrm{Stief}(n,k)Y处的切空间上的对称非退化双线性形式。然后可以通过以下方式隐式定义梯度G

ip(G,H) = \mathrm{tr} ( H^* df) = D_H f.
由于ip是非退化形式,这足以定义G。函数tangent执行从微分到切向量的投影(如图9.7所示)。这一操作由grad执行,以产生目标函数的梯度。

图9.7:F(Y)的无约束微分可以投影到切空间,以获得F的协变梯度G。
图9.7:F(Y)的无约束微分可以投影到切空间,以获得F的协变梯度G。



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Susan Blackford 2000-11-20