在平坦空间中,我们通常将函数的微分与其梯度等同起来。然而,在更一般的情境下,这样的定义可能会让人难以理解。
例如,梯度是一个向量,我们应该可以将向量视为点的无穷小位移。在 \mathrm{Stief}(n,k)中,任何无穷小位移\delta Y必须满足 \delta Y^* Y + Y^* \delta Y = 0。因此,df不一定总是向量,因为它不一定满足这个方程。梯度应该是一个无穷小位移,指向将使f增加最大的位移方向。
然而,如果切空间具有内积,我们可以找到一种有用的方式将df唯一地与切向量对应起来。设ip(H_1,H_2)是 \mathrm{Stief}(n,k)在Y处的切空间上的对称非退化双线性形式。然后可以通过以下方式隐式定义梯度G:
tangent
执行从微分到切向量的投影(如图9.7所示)。这一操作由grad
执行,以产生目标函数的梯度。