绕过\mathrm{Stief}(n,k)

我们已经为在约束流形环境下定义梯度奠定了基础。此时，人们可能会急于尝试进行最速下降搜索以最大化目标函数。然而，当发现无法合理地将一个点和位移组合以产生新点时，问题就会出现，因为对于有限的s，Y+sH会违反约束方程，从而不在流形上。

对于任何流形，更新Y的方法是求解一组形式为的微分运动方程

\begin{aligned} \frac{d}{dt} Y &= H, \\ \frac{d}{dt} H &= - \Gamma(H,H). \end{aligned}

其中\Gamma项的设计确保H始终保持为切向量，从而使路径保持在流形上。它被称为联络（联络项也依赖于Y）。

为了了解如何满足这些方程，我们取H的无穷小约束方程

H^* Y + Y^* H = 0,

并对t求导，得到

\Gamma(H,H)^*Y + Y^* \Gamma(H,H) = 2 H^*H.

这通常可以通过\Gamma(H,H) = Y(H^* H) + T(H,H)来满足，其中T(H,H)是某个任意切向量。

在下一个小节中，我们将有理由考虑H_1 \ne H_2时的\Gamma(H_1,H_2)。出于技术原因，通常要求

\Gamma(H_1,H_2) = \Gamma(H_2,H_1)

（这称为无挠性质）以及

ip(\Gamma(H_1,H_3),H_2)+ip(H_1,\Gamma(H_2,H_3))=0

（这称为度量兼容性质）。这两个性质唯一确定了T(H_1,H_2)项，从而唯一指定了联络。在任何流形上，具有这些性质的唯一联络称为Levi-Civita联络。

Edelman、Arias和Smith在他们的工作中（见[151,155,416]）找到了使用两种不同内积（欧几里得和典型）的Stiefel流形的联络。模板软件中的函数connection计算\Gamma(H_1,H_2)。

通常，在流形上求解运动方程非常困难。对于Stiefel流形，存在解析解，可以在前述文献中找到，但我们发现，只要位移较小，通过运动方程沿路径移动与对Y+sH进行正交化分解之间性能下降很少。函数move支持多种测地线运动方法，取决于所需的近似程度。