最近Jordan结构

现在假设Procrustes问题中的B块随Y变化。此外，假设B(Y)是与Y^*AY最接近的阶梯形式；即，

B(Y) = \left[ \begin{array}{ccc}\lambda_1 I & * & * \cr0 & \lambda_2 I & * \cr0 & 0 & \dots\end{array}\right]

对于固定的块大小， 其中*元素是Y^*AY的相应矩阵元素，而\lambda_i I块要么固定，要么由某种启发式方法确定，例如，取它们在Y^*AY中替代块的平均迹。然后，最小化\vert\vert AY-YB(Y)\vert\vert _F找到作为特定Jordan结构的最近矩阵，其中结构由块大小决定，特征值为\lambda_i。 当\lambda_i固定时，我们称之为轨道问题，而当\lambda_i由给定的启发式方法选择时，我们称之为束问题。

这类问题在正则化具有病态特征值的矩阵的Jordan结构的计算中可能很有用。

令人惊讶的是，F(Y)的微分形式与Procrustes问题的F(Y)相同

dF(Y) = A^*(AY-YB(Y))-(AY-YB(Y))B(Y)^*.

这是因为 \mathrm{tr}( -(AY-YB(Y))^*Y \dot{B} ) = \mathrm{tr}( (B(Y)-Y^*AY)^* \dot{B}) = 0 对于如上选择的B，无论是轨道还是束情况，其中 \dot{B} = \frac{d}{dt} B(Y(t)) \vert _{t=0}。

相比之下，二阶导数的形式更为复杂，因为B现在依赖于Y：

\frac{d}{dt} dF(Y(t))\vert _{t=0} =\frac{d}{dt} dF_{Proc}(Y(......rt _{t=0}-A^*Y\dot{B}-AY \dot{B}^*+YB \dot{B}^*+Y \dot{B} B^*,

其中 \dot{Y}(0) = H， dF_{\rm Proc}只是Procrustes（B常数）二阶导数部分的简写，而 \dot{B} = \frac{d}{dt} B(Y(t)) \vert _{t=0}，这是Y^*AH+H^*AY的阶梯部分（根据束或轨道，对角线上是迹平均值或零）。