Procrustes问题

普罗克拉斯提斯问题（参见[158]）是指在流形Y^*Y=I上，对于常数矩阵A和B，最小化\vert\vert AY-YB\vert\vert _F。这一最小化过程确定了一个最接近A的矩阵\hat{A}，使得

Q^* \hat{A} Q = \left[\begin{array}{cc} B & * \cr 0 & * \end{array}\right];

即B的列向量张成了\hat{A}的一个不变子空间。

函数F(Y) = \frac{1}{2}\vert\vert AY - YB\vert\vert _F^2 =\frac{1}{2} \mathrm{tr}(AY-YB)^*(AY-YB)的微分为

dF(Y) = A^*(AY-YB)-(AY-YB)B^*.

这一结果可以通过上述过程推导得出。观察到

\begin{aligned} \frac{d}{dt}F(Y(t))\vert_{t=0} &= \frac{1}{2}\mathrm{tr}((AV-VB)^*(AY-YB)+(AY-YB)^*(AV-VB))\\ &= \mathrm{tr}((AV-VB)^*(AY-YB))\\ &= \mathrm{tr}(V^*(A^*(AY-YB))-V^*(AY-YB)B^*). \end{aligned}

函数F(Y)的二阶导数由以下方程给出

\frac{d}{dt} dF(Y(t))\vert _{t=0} = A^*(AH-HB)-(AH-HB)B^*,

其中\dot{Y}(0) = H，这一结果可以通过对dF的表达式进行变分得到。