引言

本节通过聚焦特征空间的的几何性质，扩大了代数特征值问题的范围。我们讨论了一种模板，用于解决定义在子空间集合上的变分问题。这类问题出现的领域包括电子结构计算、特征值正则化、控制理论、信号处理以及图形相机校准。基础的几何结构还为数值分析师提供了理论洞察，深入理解了特征值算法背后的共同数学结构（参见[151,155,416]）。

假设希望在满足Y^*Y=I的条件下优化实值函数F(Y)，其中Y^*是适当的转置或厄米转置。我们的模板旨在作为优化此类F的手段。

一个简单的情况是优化正交（或酉）矩阵，例如对称矩阵的最小二乘同时对角化问题（也称为INDSCAL[107]），将在后文描述。另一个简单情况是优化单位球面，如对称瑞利商最小化。在这两者之间，我们有具有正交列的矩形n \times p（n \ge p）矩阵Y，例如正交Procrustes问题。

此外，某些函数F可能具有对称性质F(Y)=F(YQ)，对于所有具有指定块对角结构的正交（酉）Q，这导致某些搜索方向对F的值没有影响。例如，如果A是一个对称矩阵，n \ge p，且F(Y)=\mathrm{tr}(Y^*AY)，那么对于所有p \times p正交Q，F(Y)=F(YQ)。更一般地，某些函数F具有性质F(Y)=F(YQ)，其中Q是具有块对角形式的正交（酉）矩阵

Q =\begin{bmatrix} Q_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & Q_2 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & Q_p\end{bmatrix}

其中Q_i是正交（酉）矩阵。在特征值正则化问题中可能出现更复杂的具有块对角正交（酉）对称的问题（例如，样本最近的Jordan块问题在示例中得到解决）。

本章的组织如下。§9.4.2讨论了调用模板代码的基础知识。§9.4.3讨论了本章探讨的示例问题的目标函数及其导数。§9.4.4包含了示例问题的实例运行样本。§9.4.5解释了代码结构以及用户可能希望进行修改的地方。§9.4.6将涵盖一些关于Stiefel流形几何的基本数学知识。