收缩

部分广义Schur形式可以通过多个连续步骤获得。假设我们已经有了部分广义Schur形式 AQ_{k-1}={Z}_{k-1}R^A_{k-1} 和 BQ_{k-1}={Z}_{k-1}R^B_{k-1}。我们希望用新的右Schur向量 {q} 和左Schur向量 {z} 来扩展这个部分广义Schur形式，得到

A\begin{bmatrix}Q_{k-1} & q\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{k-1} & z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}R^A_{k-1} & a \\ 0 & \alpha\end{bmatrix}

以及

B\begin{bmatrix}Q_{k-1} & q\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{k-1} & z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}R^B_{k-1} & b \\ 0 & \beta\end{bmatrix}.

新的广义Schur对 ((\alpha,\beta), {q}) 满足

Q^\ast_{k-1}{q}=0\quad \mathrm{并且} \quad(\beta A-\alpha B){q}-{Z}_{k-1}(\beta {a} - \alpha {b})=0,

或者，因为 \beta {a} - \alpha {b}={Z}^\ast_{k-1}(\beta A-\alpha B)q,

Q^\ast_{k-1}q=0\quad\mathrm{并且}\quad\left(I-{Z}_{k-1}{Z}^*_{k-1}\right)(\beta A-\alpha B)\left(I-Q_{k-1}Q_{k-1}^\ast\right)q=0.

向量 {a} 和 {b} 可以从以下公式计算得到

{a}={Z}_{k-1}^\ast Aq\quad\mathrm{并且}\quad {b}={Z}_{k-1}^\ast Bq.

因此，广义Schur对 ((\alpha,\beta),q) 是缩减矩阵对的一个特征对

\begin{aligned} \left(\left(I-{Z}_{k-1}{Z}_{k-1}^\ast\right)A\left(I-Q_{k-1}Q^\ast_{k-1}\right), \\ \left(I-Z_{k-1}Z^\ast_{k-1}\right)B\left(I-Q_{k-1}Q_{k-1}^\ast\right) \right). \end{aligned}\tag{8.15}

这个特征问题可以再次用我们在第§8.4.1节中概述的Jacobi-Davidson过程来解决。在这个过程中，我们构造了与Q_{k-1}正交的向量v_i和与{Z}_{k-1}正交的向量w_i。这简化了与缩减算子相关的交互矩阵M^A和M^B的计算：

\begin{aligned} M^A&\equiv W^\ast\left(I-{Z}_{k-1}{Z}_{k-1}^\ast\right)A\left(I-Q_{k-1}Q^\ast_{k-1}\right)V = W^\ast A V,\\ M^B&\equiv W^\ast\left(I-Z_{k-1}Z^\ast_{k-1}\right)B\left(I-Q_{k-1}Q_{k-1}^\ast\right)V = W^\ast B V, \end{aligned}\tag{8.16}

并且M^A和M^B可以简单地计算为W^\ast A V和W^\ast B V。