基本理论

对于广义厄米特征值问题（GHEP），我们希望避免将A{x}=\lambda B {x}转换为标准特征值问题。这需要每迭代步解决涉及B和/或A的某些线性系统。此外，出于稳定性考虑，我们希望使用正交变换，因此我们的目标是计算矩阵束A - \lambda B的舒尔向量，而不是特征向量。这导致了对Jacobi-Davidson算法的推广，其中我们计算矩阵束的部分舒尔形式。该算法可以解释为QZ算法的子空间迭代变体。这种方法的一个结果是，我们必须使用不同的搜索和测试空间。

设\lambda = \alpha/\beta，广义特征值问题A{x}=\lambda B {x}等价于特征值问题

(\beta A-\alpha B){x}=0, \tag{8.8}

我们称矩阵对\{A,B\}的广义特征值为一对(\alpha,\beta)。这种方法更可取，因为在有限精度算术中，当\alpha和/或\beta为零或接近零时，可能会发生下溢或上溢，此时\lambda = \alpha/\beta可能未定义，但该对仍然良定义[328], [425, Chap. VI], [376]。

矩阵对\{A,B\}的k维部分广义舒尔形式是分解

A Q_k = Z_k R^A_k,\quad B Q_k = Z_k R^B_k, \tag{8.9}

其中Q_k和Z_k是n乘k的正交矩阵，R^A_k和R^B_k是k乘k的上三角矩阵。Q_k的列q_i称为广义舒尔向量，我们称对((\alpha_i,\beta_i),q_i)，其中(\alpha_i,\beta_i) =(R^A_k(i,i),R^B_k(i,i))为广义舒尔对。由此可知，如果((\alpha,\beta),y)是(R^A_k,R^B_k)的广义特征对，那么((\alpha,\beta), Q_k y)是\{A,B\}的广义特征对。

现在我们将描述广义特征值问题（8.8）的Jacobi-Davidson方法。从关系式（8.9）我们得出

\beta_i A q_i - \alpha_i B q_i \perp z_i,

这表明我们应该遵循Petrov-Galerkin条件来构建简化系统。在每一步中，近似特征向量u从搜索空间\mathrm{span}(V)中选择。我们要求残差\eta Au - \zeta Bu对某些精心选择的测试空间\mathrm{span}(W)正交：

\eta \, A u -\zeta \, B u \perp \mathrm{span}(W). \tag{8.10}

两个空间都是相同的维度，设为{m}。方程（8.10）导致投影特征值问题

(\eta\, W^\ast A V-\zeta \,W^\ast B V) \,{s}=0. \tag{8.11}

矩阵束\eta\, W^\ast A V-\zeta \,W^\ast B V可以通过QZ算法（见§8.2）简化为广义舒尔形式（注意这是一个{m}维问题）。这导致正交的{m}乘{m}矩阵S^R和S^L以及上三角的{m}乘{m}矩阵T^A和T^B，使得

(S^L)^\ast ( W^\ast A V)S^R=T^A\quad\mathrm{and}\quad(S^L)^\ast ( W^\ast B V)S^R=T^B. \tag{8.12}

分解可以重新排序，使得S^R的第一列和T^A与T^B的(1,1)项表示所需的Petrov解[172]。设{s}\equiv s^R_1\equiv {S^R}e_1和\zeta\equiv T^A_{1,1}，\eta\equiv T^B_{1,1}，定义与广义Petrov值(\zeta,\eta)相关的Petrov向量为{u}\equiv V {s}。在我们的算法中，我们将构建正交矩阵V和W，因此也有\Vert{u}\Vert _2=1。利用（8.12）中的分解，我们构建了近似的局部广义舒尔形式（参见（8.9））： V S^R近似于Q_k，W S^L近似于相关的Z_k。由于\mathrm{span}(Z_k)= \mathrm{span}(A Q_k)= \mathrm{span}(B Q_k)（参见（8.9）），这建议选择W使得\mathrm{span}(W)与\mathrm{span}(\nu_0 A V+\mu_0 B V)一致。通过权重\nu_0和\mu_0，我们可以影响Petrov值的收敛。如果我们希望近似特征对\lambda接近目标\tau，那么选择

\nu_0=1/\sqrt{1+\vert\tau\vert^2}, \qquad \mu_0=-\tau \nu_0

非常有效[172]，特别是当我们希望计算A - \lambda B的谱内部特征值时。我们称这种选择的Petrov近似为调和Petrov特征对。对于矩阵束\eta A -\zeta B，Jacobi-Davidson修正方程对于分量{t}\perp u变为

\left( I- \frac{pp^\ast}{p^\ast p}\right)(\eta A-\zeta B)\left( I-uu^\ast\right) {t}=- r, \tag{8.13}

其中r\equiv \eta Au - \zeta Bu和p\equiv \nu_0 Au + \mu_0 Bu。可以证明，如果（8.13）被精确求解，广义特征值的收敛将是二次的；参见[408, Theorem 3.2]。通常，这个修正方程仅近似求解，例如，使用（预处理的）迭代求解器。获得的向量{t}用于扩展V，\nu_0 Av + \mu_0 Bv用于扩展W。对于这两个空间，我们使用正交基。因此，新列通过改进的Gram-Schmidt正交化过程相对于当前基进行正交化（见§4.7.1）。

可以证明，通过上述p和W的选择，

p= W s^L_1= W S^Le_1. \tag{8.14}

给定大问题的部分广义舒尔形式与简化问题（8.11）的完整广义舒尔形式之间的关系通过右向量（u = Vs^R_1）是类似的，通过左向量（p = Ws^L_1）也是如此。这也可以用于重启。