求解约化特征值问题

回顾一下，算法7.17生成一个复对称三对角矩阵T_j，为了获得A的近似特征值，至少需要计算T_j的一些特征值。 使用QR算法来计算T_j的所有特征值并没有利用T_j的三对角结构。 实际上，经过QR算法的一步后，通常，T_j的三对角结构会被破坏，得到一个满的上海森堡矩阵，就像在一般NHEPs的QR算法中一样。 卡勒姆(Cullum)和威洛比(Willoughby)[91],[92],[94]开发了一种针对复对称三对角矩阵的QL过程，利用了这种特殊结构。 该算法基于将复对称三对角矩阵分解为一个复正交矩阵Q和一个下三角矩阵L。 然而，由于Q一般不是酉矩阵，需要精心选择的启发式方法来监控和保持数值稳定性；我们建议读者参考[94]以获得QL过程的详细描述。

如果使用前瞻的复对称Lanczos方法，那么一旦发生前瞻，Lanczos矩阵T_j的复对称三对角结构就会被破坏。 Lanczos向量矩阵V_j不再是复正交的，而是D_j = V_j^T V_j成为一个复对称块对角矩阵，其中对角块的大小对应于前瞻的长度。 特别是，每当可以进行常规的Lanczos步（不带前瞻）时，会出现一个1 \times 1的“块”，而每个大于1的“真实”块对应于一次前瞻。 此外，不再有7.101中的关系，而是有

D_j T_j = V_j^T A V_j,

这表明D_j T_j是复对称的。 此外，矩阵D_j T_j是块三对角的，其对角块的大小与D_j相同。 因此，在前瞻的情况下，不再解决标准的特征值问题7.100，而是可以解决等价的复对称广义特征值问题

D_j T_j z_i^{(j)} = \theta_i^{(j)} D_j z_i^{(j)},\quad i=1,2,\ldots,j. \tag{7.102}

这里，两个矩阵D_j T_j和D_j都是复对称的，D_j T_j是块三对角的，而D_j是块对角的。 然而，在解决7.102时，如何利用这种特殊结构尚不清楚。