锁定\theta

首先讨论的是单个收敛的Ritz值的锁定。假设

Hy = y \theta, \ \ \Vert y\Vert = 1,

且 e_k^* y = \eta，其中 \vert\eta \vert \le \epsilon_D \Vert H \Vert 。 这里，理解为 \epsilon_M \le \epsilon_D < 1 是介于 \epsilon_M 和 1 之间的指定相对精度容差。

如果 \theta 是“需要的”，那么锁定 \theta 是可取的。然而，为了实现这一点，需要安排对当前Arnoldi分解进行变换，使其具有小的次对角线以隔离 \theta 。这可以通过使用算法7.8构建一个 k \times k 正交矩阵 Q = Q(y) 来完成：

Q e_1 = y \quad \mathrm{且}\quad e_k^* Q = ( \eta, \tau e_{k-1}^*),

其中 \eta^2 + \tau^2 = 1 。

现在，当我们应用 AVQ = VQ (Q^*H Q) + f e_k^* Q ，我们得到

A [v_1 , V_2] = [v_1 , V_2] \begin{bmatrix} \theta & h^* \\0 & H_2 \end{bmatrix} + f (\eta, \tau e_{k-1}^*).

不幸的是，H_2 不是上三角海森堡形式。需要进一步的工作将其转换为海森堡形式，同时不干扰残余项 f (\eta, \tau e_{k-1}^*) 的形式。我们需要构建一个正交矩阵 U，使得 \widehat{H}_2 = U^*H_2U 是上三角海森堡形式，且 e_{k-1}^* U = e_{k-1}^*。这可以通过Householder变换或算法7.8中定义的变换的变体从最后一行向上工作来完成。以下MATLAB代码段展示了一种略低效的方法来获得这样的 U。

       rev = [k-1:-1:1];
       C = H_2';
       [U,H_2] = hess(C(rev,rev));
       U = U(rev,rev);
       H_2 = H_2(rev,rev)';

一旦构建了 U，用 Q : Q [{1 \atop 0}\;{0 \atop U}] 替换 Q，这些变换的最终结果将是

\begin{aligned} Av_1 &= v_1 \theta + f \eta, \quad\text{其中}\quad v_1^*f = 0, \\ A V_2 &= [v_1 , V_2] \begin{bmatrix} h^* \\ H_2 \end{bmatrix} + f \tau e_{k-1}^*,s \end{aligned}

其中 [v_1 , V_2] = V Q 且 H_2 是上三角海森堡形式。之后，所有后续的隐式重启都像

A V_2 = V_2 H_2 + f\tau e_{k-1}^*.

所有与隐式重启相关的后续正交变换都应用于 V_2 和 [{h^* \atop H_2}] 同时从不干扰关系 Av_1 = v_1 \theta + f \eta 。 在后续的Arnoldi步骤中，v_1 参与正交化，从而自动实现了Parlett和Scott[363,353]推荐的选