清除 \theta

如果 \theta 是“不需要的”，那么我们可能希望从投影矩阵 H 的谱中移除 \theta 。 然而，使用精确位移的隐式重启策略有时会无法清除一个已经收敛的不需要的 Ritz 值 [294]。

我们将使用 (7.21) 来清除一个不需要但已收敛的 Ritz 值。 在这种情况下，需要一个左特征向量 y，满足

y^*h = \theta y^*, \ \ \Vert y\Vert = 1.

现在，当我们应用 AVQ = VQ (Q^*H Q) + f e_k^* Q 时，我们得到

A [v_1 , V_2] = [v_1 , V_2] = \begin{bmatrix}\theta & 0 \\h & H_2\end{bmatrix}+ f (\eta, \tau e_{k-1}^*),

其中 H_2 是上三角海森堡矩阵。这里，\eta = e_k^*y 如前所述，但没有要求 \eta 必须很小。所需的清除操作仅仅是丢弃该方程两边的第一列。 然后我们得到

A V_2 = V_2 H_2 + f\tau e_{k-1}^*.

除了可接受的舍入误差水平外，通过此清除过程不会引入其他误差。 此外，没有要求 y 必须是 H 的精确左特征向量。只需要 残差 y^* H - \theta y^* 很小。