数值示例

我们包含了一个数值示例，以便潜在用户可以验证和比较Jacobi-Davidson算法的计算结果。

对称矩阵A的维度为n=1000。对角线元素为a_{i,i} = i，次对角线元素为a_{i,i-1} = a_{i,i+1}= 0.5，并且a_{1000,1} = a_{1,1000} = 0.5。其他所有元素均为零。此示例取自[88]，并在[411, p. 410]中针对Jacobi-Davidson算法进行了讨论。

我们使用算法4.17来计算{k}_{\max}=10个最大特征值。输入参数选择如下：初始向量{v}_0=(0.01,\ldots,0.01,1)^T，容差\epsilon = 10^{-8}，子空间维度参数{m}_{\min}=10，{m}_{\max}=15，目标值\tau=1001。

图4.5：针对外部特征值的Jacobi-Davidson算法，采用多种策略求解校正方程。

图4.6：针对外部特征值（顶部）和内部特征值（底部）的Jacobi-Davidson算法。校正方程通过5步普通GMRES（左侧）和5步预处理GMRES（右侧）求解。

我们在图4.5中以图形方式展示了残差向量的范数随迭代次数的变化。每次范数小于\epsilon时，表示在此精度内确定了特征值，并通过缩减继续迭代以确定下一个特征值。四幅图按字母顺序分别代表以下不同情况：

1. 左上：显示了在算法4.17的第(32)项中，简单地将{t}取为{t}=-r时的情况。在精确算术中，这应提供与Arnoldi算法相同的Ritz值（假设Arnoldi采用类似算法4.17中的重启策略）。

2. 右上：这里我们应用了一个简单的预条件子{K}=\mathrm{diag}(A)，如算法4.18所示，没有进一步的子空间加速；即在步骤(d{}^{\,\prime})后停止。这相当于当前量子化学家使用的[344]方法。

3. 左下：给出了未预处理的5步MINRES求解校正方程时的迭代结果（算法4.17中{K}=I）。

4. 右下：这里我们采用了算法4.17中的预处理，使用{K}=\mathrm{diag}(A)和5步GMRES（注意使用MINRES会更高效，但这需要双边预处理，我们未提供相应算法）。

在图4.6中，我们展示了内部特征值的收敛历史，分别由算法4.17（顶部）和算法4.19（底部）获得，输入参数如下：{v}_0=(0.01,\ldots,0.01,1)^T，\tau=900.5，\epsilon = 10^{-8}，{k}_{\max}=10，{m}_{\min}=5，{m}_{\max}=10。同样，每次曲线低于\epsilon，表示在此容差内特征值的近似收敛。所有图中，我们使用5步GMRES来求解校正方程(32)。左图未使用预处理，右图则采用{K}=\mathrm{diag}(A)-\tau I进行预处理，如算法4.18所示。