改进的投影方法

为了提高标准Rayleigh-Ritz过程的收敛性，最近提出了一种所谓的改进的投影过程。其思路是保留选定的近似所需特征值的Ritz值\tilde{\lambda}，但舍弃Ritz向量。转而寻求一个新的单位长度向量\tilde{u}\in {\mathcal K}，满足最优条件

\Vert(A-\tilde{\lambda}I)\tilde u\Vert _2=\min_{u\in {\mathcal K},\,\Vert u\Vert _2=1}\Vert(A-\tilde{\lambda}I)u\Vert _2. \tag{3.11}

并将其作为新的近似特征向量。该向量\tilde u被称为改进的Ritz向量或改进的近似特征向量。

改进的投影过程在数学上与上述正交和斜交投影方法有所不同，因为它不再使用Ritz向量。特别是，如果新的残差(A-\tilde{\lambda}I)\tilde u\neq 0，则改进的向量不再是Ritz向量。此时，改进的残差向量(A-\tilde{\lambda}I)\tilde u既不垂直于\mathcal{K}本身，也不垂直于像A \mathcal{K}这样的左子空间\mathcal{L}。

如果使用传统的SVD算法来解决最小二乘问题(3.11)，计算成本为O(nm^2)次浮点运算，这过于昂贵。幸运的是，如果\tilde{\lambda}是通过正交投影方法获得的Ritz值，则改进的近似特征向量\tilde u可以在O(m^3)次浮点运算中计算出来。回想一下，Rayleigh-Ritz过程通常需要O(nm^2)次浮点运算来生成V和一整套m个Ritz或调和Ritz向量。因此，计算\tilde u的成本可以忽略不计。因此，改进的近似特征向量为近似特征向量提供了一个可行的替代方案。

已在[244,245]中开发了几种改进的投影算法。这些方法的分析在[247,246]中呈现。