斜投影方法

在斜投影方法中，我们给定两个子空间 \mathcal{L} 和 \mathcal{K}， 并寻求一个近似向量 \tilde{u} \in \mathcal{K} 和一个标量 \tilde \lambda \in \mathcal{C} 满足Petrov-Galerkin条件，

v^{\ast} (A - \tilde \lambda I) \tilde{u} = 0 \quad \forall \ v \in \mathcal{L} \ .

子空间 \mathcal{K} 被称为右子空间， \mathcal{L} 被称为左子空间。 可以设计一种类似于Rayleigh-Ritz过程的方法， 并且可以通过矩阵形式方便地描述， 即将近似特征向量 \tilde{u} 用某些基表示， 并为 \mathcal{L} 的基制定Petrov-Galerkin条件。 这次我们需要两个基，一个用 V 表示的子空间 \mathcal{K} 的基， 另一个用 W 表示的子空间 \mathcal{L} 的基。我们假设这两个基是双正交的，即 w^{\ast}_i v_j = \delta_{ij} 或

W^{\ast} V\ =\ I ,

其中 I 是单位矩阵。 然后，像之前一样写成 \tilde{u} = V y ， 上述Petrov-Galerkin条件产生与正交投影相同的近似问题， 只是矩阵 B_m 现在定义为

B_m \ =\ W ^{\ast} A V .

为了使双正交对 V, W 存在， \mathcal{L} 和 \mathcal{K} 必须满足以下附加假设。

对于 \mathcal{K} 和 \mathcal{L} 的任意两个基 V 和 W，

\det ( W ^{\ast} V ) \ne 0 .

显然，这个条件不依赖于所选的特定基， 它等价于要求 \mathcal{K} 中的任何向量都不与 \mathcal{L} 正交。

斜投影方法得到的近似结果可能比正交投影方法的条件更差。 因此，人们可能会怀疑是否有必要使用斜投影方法。 然而，基于斜投影的方法可以提供一些优势。 特别是，它们可能能够同时计算出良好的左特征向量和右特征向量的近似。 正如后面将看到的，还有一些基于斜投影技术的方法， 需要的存储量远少于类似的正交投影方法。

通过将这种技术与一些（更昂贵的）正交投影方法的步骤相结合， 可以减少使用非正交 V 和 W 的缺点。