正交投影法

设 A 是一个 n \times n 的复矩阵，\mathcal{K} 是一个 m 维的子空间，考虑寻找属于 {\mathcal C}^n 的 u 和属于 {\mathcal C} 的 \lambda 使得

A u\ = \ \lambda u .

一种基于子空间 \mathcal{K} 的正交投影技术寻求上述问题的近似特征对 (\tilde \lambda, \tilde{u})，其中 \tilde \lambda 属于 {\mathcal C}，\tilde{u} 属于 \mathcal{K}。通过施加以下 Galerkin 条件来获得此近似特征对：

A \tilde{u} - \tilde \lambda \tilde{u} \ \bot\ \mathcal{K} ,

或等价地，

v^{\ast} ( A \tilde{u} - \tilde \lambda \tilde{u} )\ =\ 0 \ \ \ \forall \ v \in \mathcal{K}.

为了将其转化为矩阵问题，假设已知 \mathcal{K} 的一个标准正交基 \{ v_1, v_2, \ldots, v_m \}。 记 V 为包含列向量 v_1, v_2, \ldots, v_m 的矩阵，即 V = [v_1, v_2, \ldots, v_m]。 由于我们寻求 \tilde{u} \in \mathcal{K}，它可以表示为

\tilde{u}\ =\ V y .

于是，方程变为

v^{\ast}_j ( A V y - \tilde \lambda V y )= 0 , \quad j=1,\ldots , m .

因此，y 和 \tilde \lambda 必须满足

B_m y\ =\ \tilde \lambda y

其中 B_m = V^{\ast} A V。 投影过程得到的近似特征值 \tilde{\lambda}_i 是矩阵 B_m 的所有特征值。相关的特征向量是 Vy_i，其中 y_i 是与 \tilde{\lambda}_i 对应的 B_m 的特征向量。

这种用于数值计算 A 的特征值/特征向量的 Galerkin 近似的方法称为 Rayleigh-Ritz 过程。

RAYLEIGH-RITZ PROCEDURE

1. 计算子空间 \mathcal{K} 的一个标准正交基 \{ v_i \}_{i=1, \ldots, m}。设 V = [v_1, v_2, \ldots, v_m]。
2. 计算 B_m = V^{\ast} A V。
3. 计算 B_m 的特征值并选择所需的 k 个（例如最大的 k 个），其中 k \leq m。
4. 计算与 \tilde \lambda_i 对应的 B_m 的特征向量 y_i，以及对应的 A 的近似特征向量 \tilde{u}_i = V y_i。

在实现这种方法时，通常不会为每组生成的基向量计算 B_m 的特征对。通过此过程计算的值 \tilde{\lambda}_i 称为 Ritz 值，向量 \tilde{u}_i 是对应的 Ritz 向量。 数值求解步骤 3 和 4 中的 m \times m 特征值问题可以使用 LAPACK [12] 等标准库子程序处理。另一个重要提示是，在步骤 4 中可以用 Schur 向量代替特征向量，以获得近似的 Schur 向量 \tilde{u}_i。Schur 向量 y_i 可以以数值稳定的方式获得，通常，特征向量比 Schur 向量对舍入误差更敏感。