示例

我们继续使用在 第2.1节和 图 2.1中介绍的示例。 我们再次考虑任意质量m_i>0和零阻尼常数b_i=0的情况。这简化了运动方程为 M \ddot{x}(t) = -K x(t)。 如在第2.3.8节中，我们通过代入 x(t) = e^{\lambda t} x来求解运动方程，其中x是常向量，\lambda是待确定的常标量。这导致 Kx = -\lambda^2 Mx。设M = LL^T，其中 Cholesky因子 L = {\rm diag}( m_1^{1/2} ,\ldots, m_n^{1/2} )， 我们看到我们需要计算对称三对角矩阵 \hat{K} = L^{-1}K L^{-T}的特征值，如方程 (2.2)所示。

现在我们注意到刚度矩阵K可以分解为K = BD^2B^T， 其中 D = {\rm diag}(k_1^{1/2} ,\ldots, k_n^{1/2}) 以及

B = \begin{bmatrix} 1 & -1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & -1 \\ & & &1 \end{bmatrix}.

这使我们可以写成

\begin{aligned} \hat{K} & = L^{-1} K L^{-T} = L^{-1} B D^2 B^T L^{-T} \\ &= (L^{-1}BD)\cdot(DB^T L^{-T}) = (L^{-1} B D) \cdot (L^{-1} B D)^T \equiv GG^T. \end{aligned}

因此，双对角矩阵

G = L^{-1}BD = \begin{bmatrix} \sqrt{k_1/m_1} & -\sqrt{k_2/m_1} & & & \\ & \sqrt{k_2/m_2} & -\sqrt{k_3/m_2} & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & -\sqrt{k_n/m_{n-1}} \\ & & & & \sqrt{k_n/m_n} \end{bmatrix}

的奇异值是\hat{K}的特征值的平方根，而G的左奇异向量是\hat{K}的特征向量。

双对角矩阵具有特别快速和高效的奇异值分解算法。