示例

我们继续使用在第2.1节和图 2.1中介绍的例子。现在我们考虑任意正质量m_i>0的情况，但阻尼常数b_i为零。这将运动方程简化为M \ddot{x}(t) = -K x(t)。我们再次通过代入x(t) = e^{\lambda t} x来求解，其中x是一个常数向量，\lambda是一个待确定的常数标量。这得到：

Kx = -\lambda^2 M x.

因此，x是一个特征向量，-\lambda^2是广义厄米特征问题的特征值Kx = \mu Mx。由于K和M是正定的，特征值-\lambda^2为正，所以\lambda是纯虚数，我们得到x(t)是周期为2 \pi/ \vert\lambda\vert的周期函数。

根据第2.3.7节中的第3项，我们可以将其转换为标准的厄米特征问题，如下所示。设M = LL^T为M的Cholesky分解。可得 L 就是对角矩阵{\rm diag}( m_1^{1/2} ,\ldots, m_n^{1/2} )。那么，Kx = \mu Mx的特征值与如下对称三对角矩阵相同。

\hat{K} = L^{-1} K L^{-T} = \begin{bmatrix} \frac{k_1 + k_2}{m_1} &-\frac{k_2}{\sqrt{m_1m_2}} &0 &\cdots &0 \\ -\frac{k_2}{\sqrt{m_1m_2}} &\frac{k_2 + k_3}{m_2} &-\frac{k_3}{\sqrt{m_2m_3}} &\cdots &0 \\ 0 &-\frac{k_3}{\sqrt{m_2m_3}} &\frac{k_3 + k_4}{m_3} &\cdots &0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0 &0 &0 &-\frac{k_{n-1}}{\sqrt{m_{n-2}m_{n-1}}} &\frac{k_{n-1} + k_n}{m_{n-1}} &-\frac{k_n}{\sqrt{m_{n-1}m_n}} \\ 0 &0 &0 &\cdots &-\frac{k_n}{\sqrt{m_{n-1}m_n}} &\frac{k_n}{m_n} \end{bmatrix}.

对称三对角矩阵具有特别快速和高效的特征值算法。