奇异值问题的具体化

以下问题具有典型性，这既因为它们在应用中自然出现，也因为我们对它们有良好的算法。它们对应于第2.2.6节中的问题。

1. 以某种指定精度计算所有奇异值。
2. 计算某些指定下标集合的奇异值 \sigma_i， 其中 i \in {\mathcal I} = \{1,2,\ldots,n\}， 包括特殊情况下的最小 r 个奇异值 \sigma_{n-r+1} 到 \sigma_n，以及最大 r 个奇异值 \sigma_1 到 \sigma_r。同样，可以指定所需的精度。
3. 计算给定实轴子集内的所有奇异值， 例如区间 [\alpha, \beta]。同样，可以指定所需的精度。
4. 计算区间 [\alpha, \beta] 内的所有奇异值的数量。 这不需要计算区间 [\alpha, \beta] 内的奇异值， 因此成本可能低得多。
5. 计算最接近给定值 \mu 的若干个奇异值。

对于上述每种可能性（第4项除外），用户还可以计算相应的奇异向量（左奇异向量、右奇异向量或都计算）。对于聚集在一起的奇异值，用户可以选择计算相关的奇异子空间，因为在这种情况下，单个奇异向量可能非常病态，而奇异子空间可能不那么病态。最后，对于这些量中的任何一个，用户可能还希望计算其条件数。

尽管我们有解决这些问题的有效算法，但对于大规模问题，我们不一定能在所有用户可接受的时间和空间内实现所有这些目标。