需要修改的内容

以下概述了用户可能希望对代码进行的特定修改。

• 线搜索最小化。 目前，线搜索最小化通过MATLAB函数fmin和fzero实现，这些函数通过包装器Fline、dFline和gradline进行调用。然而，用户可能有更好的方法在优化过程中进行线搜索，或者出于经济性考虑希望补充fmin和fzero的功能。

• 高级算法。 用户可能希望使用不同于当前可用方法或更为复杂的最小化算法，或者有我们未预料到的不同停止准则[17]。将其他平面优化算法适应到新的sg_算法是可能的，且无需了解太多细节。大多数无约束最小化包含线搜索（y \rightarrow y+t*v）、海森堡应用（H*v）和内积（v'w）。为了正确几何化算法，只需将这些组件分别替换为move(Y,V,t)、dgrad(Y,V)和ip(Y,V,W)。

• 海森堡逆变换。 我们目前提供了在函数invdgrad_CG（使用共轭梯度法）和invdgrad_MINRES（使用MINRES算法）中逆变换协变海森堡的代码。任何能够稳定逆变换黑盒线性算子的矩阵逆变换程序都可以替代这些，且无需对代码进行其他修改。

• 工作区。 为了提高代码的可读性，我们没有实现任何工作区变量，尽管有许多计算可以重复使用。例如，在目标函数组中，对于许多示例问题，形式为A*Y或Y*B的产品或复杂的矩阵函数（如Jordan示例中的B(Y)）可以保存在工作区中。计算grad和dgrad时的一些项也可以同样保存（事实上，我们当前的实现基本上每次应用协变海森堡时都会重新计算梯度）。

• 内联化。 虽然我们已经将tangent和dtangent函数与grad和dgrad函数分开，但通常会发现当这些函数内联时，有些项会相互抵消，因此不需要计算。在进行线搜索最小化时，也可以考虑内联move函数，以便可以重复使用数据，加快函数评估和点更新。

• 球面或{\mathcal O}(n)几何。 某些问题总是设置在单位球面或{\mathcal O}(n)上，这两者的几何结构都比Stiefel流形简单。在这两者上，测地线和切线投影的计算都更为简单。为了利用这一点，用户应修改几何实现组。

• 全局变量。 为了使代码具有适应性和可读性，我们选择使用全局结构SGParameters和FParameters来保存可以放在所有函数参数列表中的数据。用户可能希望修改代码，以便将这些数据作为单独的参数显式传递给每个函数。

• 预处理。 通过共轭梯度法进行的海森堡求解，invdgrad，没有预处理步骤。没有预处理的共轭梯度性能可能非常差，而对黑盒线性算子如dgrad进行预处理是一个非常困难的问题。用户可以尝试为dgrad找到一个好的预处理方法。