带非线性项的迹最小化

我们考虑一个与9.4.3.3节中迹最小化相关的非线性特征值问题： 最小化F(Y) =\frac{1}{2}(\tr(Y^*AY) + g(Y)),，其中g(Y)是某个非线性项。

这种最小化问题出现在电子结构计算中，例如局域密度近似（LDAs），其中Y的列代表电子波函数，A是一个固定的哈密顿量，而g(Y)表示电子间相互作用的能量（参见，例如，[151,428]）。在这种情况下，最优的Y代表系统的最低能量状态。

迹最小化的微分中唯一的附加项来自g(Y)，这些项因问题而异。在我们的例子中，我们取g(Y) = \frac{K}{4} \sum_i \rho_i^2，其中K是某个耦合常数，\rho_i = \sum_j \vert Y_{ij}\vert^2（电荷密度）。

在这种情况下

dF(Y) = dF_{\mathrm{tracemin}} + K \mathrm{diag}(\rho) Y,

并且

\frac{d}{dt} dF(Y(t))\vert _{t=0} =\frac{d}{dt} dF_{\mathrm{tracemin}}(Y(t))\vert_{t=0} +K \mathrm{diag}(\rho) H + K \mathrm{diag}\left(\frac{d}{dt} \rho\right) Y,

其中\dot{Y}(0) = H，\frac{d}{dt} \rho_i \vert _{t=0} = \sum_j Y_{ij} H_{ij}.