计算非对称矩阵 A 特征值的数值算法通常会产生大小约为
\epsilon_M\Vert A\Vert 的舍入误差，其中 \epsilon_M 是机器精度。
因此，应用一个简单且准确的相似变换
DAD^{-1} 来减小矩阵 A 的范数，或者减小 A 某些特征值的条件数，
可以使计算出的 A 的特征值更加精确。
例如，考虑矩阵
A = \left[ \begin{array}{ccc}1&0&10^{-4}\\ 1&1&10^{-2}\\ 10^4&10^2&1 \end{array} \right].
奥斯本(Osborne) [346] 首先注意到，矩阵 A 的范数通常可以通过以下形式的相似变换来减小
B=DAD^{-1}, \tag{7.4}
其中 D 是一个对角矩阵。 奥斯本在考虑不可约矩阵并忽略其对角元素的情况下，还证明了使 \vert\vert B\vert\vert _F 最小的 D 也在 2-范数下平衡了 B：如果对于任何 i，行 i 的 \alpha-范数与列 i 的 \alpha-范数相同，则矩阵在 \alpha-范数下是平衡的。 他引入了第一个平衡算法，该算法反复遍历 D 的对角线元素，更新 D_{ii} 以平衡第 i 行和第 i 列。