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锁定 θ\theta

首先讨论的是锁定单个收敛的 Ritz 值。假设
Ty=yθ,  ∥y∥=1,Ty = y \theta, \; \Vert y\Vert = 1,
其中 ek∗y=ηe_k^* y = \eta，且 ∣η∣≤ϵD∥T∥|\eta| \le \epsilon_D \Vert T \Vert。这里，ϵM≤ϵD<1\epsilon_M \le \epsilon_D \lt 1 是一个指定的相对精度容差，介于 ϵM\epsilon_M 和 11 之间。

如果 θ\theta 是“需要的”，那么锁定 θ\theta 是可取的。然而，为了实现这一点，需要对当前的 Lanczos 分解进行变换，使其具有一个小次对角线以隔离 θ\theta 。这可以通过构造一个 k×kk \times k 的正交矩阵 Q=Q(y)Q = Q(y) 来实现，使用算法4.9：

Qe1=y且ek∗Q=(η,τek−1∗),Q e_1 = y \quad \mathrm{且} \quad e_k^* Q = ( \eta, \tau e_{k-1}^*),
其中 η2+τ2=1\eta^2 + \tau^2 = 1 。

这些变换的最终结果是

Av1=v1θ+rη,其中v1∗r=0,AV2=V2T2+rτek−1∗, \begin{aligned} Av_1 &= v_1\theta + r\eta, \quad \text{其中} \quad v_1^* r = 0, \\ A V_2 &= V_2 T_2 + r\tau e_{k-1}^*, \end{aligned}
其中 [v1,V2]=VQ[v_1 , V_2] = V Q。

这意味着随后的隐式重启发生在

AV2=V2T2+rτek−1∗A V_2 = V_2 T_2 + r\tau e_{k-1}^*
所有与隐式重启相关的后续正交变换应用于 T2T_2，并且不会干扰关系 Av1=v1θ+rη Av_1 = v_1 \theta + r \eta 。在随后的 Lanczos 步骤中，v1v_1 参与正交化，从而自动实现了 Parlett 和 Scott 推荐的择优正交化 [363,353]。


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Susan Blackford 2000-11-20