锁定 \theta

首先讨论的是锁定单个收敛的 Ritz 值。假设

Ty = y \theta, \; \Vert y\Vert = 1,

其中 e_k^* y = \eta，且 |\eta| \le \epsilon_D \Vert T \Vert。这里，\epsilon_M \le \epsilon_D \lt 1 是一个指定的相对精度容差，介于 \epsilon_M 和 1 之间。

如果 \theta 是“需要的”，那么锁定 \theta 是可取的。然而，为了实现这一点，需要对当前的 Lanczos 分解进行变换，使其具有一个小次对角线以隔离 \theta 。这可以通过构造一个 k \times k 的正交矩阵 Q = Q(y) 来实现，使用算法4.9：

Q e_1 = y \quad \mathrm{且} \quad e_k^* Q = ( \eta, \tau e_{k-1}^*),

其中 \eta^2 + \tau^2 = 1 。

这些变换的最终结果是

\begin{aligned} Av_1 &= v_1\theta + r\eta, \quad \text{其中} \quad v_1^* r = 0, \\ A V_2 &= V_2 T_2 + r\tau e_{k-1}^*, \end{aligned}

其中 [v_1 , V_2] = V Q。

这意味着随后的隐式重启发生在

A V_2 = V_2 T_2 + r\tau e_{k-1}^*

所有与隐式重启相关的后续正交变换应用于 T_2，并且不会干扰关系 Av_1 = v_1 \theta + r \eta 。在随后的 Lanczos 步骤中，v_1 参与正交化，从而自动实现了 Parlett 和 Scott 推荐的择优正交化 [363,353]。