谱变换

当极值特征值未充分分离，而我们希望求解内部特征值时，将矩阵 A 替换为移位-逆变换算子

C=(A-\sigma I)^{-1}\,

对于适当选择的移位 \sigma，例如在感兴趣的特征值区间 \alpha \le \sigma \le \beta 内，移位-逆变换算子 C 具有特征值

\theta_i=\frac{1}{\lambda_i-\sigma}\quad\mathrm{or}\quad\lambda_i=\sigma+\frac{1}{\theta_i}\;,

现在，对应于接近移位 \sigma 的特征值 \lambda_i 的特征值 \theta_i 将位于谱的两端，并与其余部分充分分离；参见[162]。

若使用移位-逆变换算子，算法首先通过分解

LDL^{\ast}=P^T(A-\sigma I)P\,,

采用某种适当的稀疏高斯消去法。此处，P 为置换矩阵，L 为单位下三角矩阵。若特征值 \lambda 位于移位 \sigma 的两侧，则不能使用标量对角矩阵 D，而需进行对称不定分解，如 Duff 和 Reid 在 MA47 中的处理[141]。这里，D 为块对角矩阵，包含一阶和二阶块，同时作为副产品获得 A-\sigma I 的惯性。通过记录区间两端 \sigma 值对应的 (A-\sigma I) 的惯性，可统计区间内的特征值数量，确保不遗漏多重特征值。更多关于稀疏矩阵分解的信息，参见第10.3节。

在实际迭代过程中，利用因子 P、L 和 D 计算

r=P(L^{-\ast}(D^{-1}(L^{-1}(P^Tv_j))))\;,

按照括号指示的顺序，在算法4.6的步骤(5)中进行。