高斯单位制（其二）

发表于2019-10-16更新于2020-10-30阅读次数

我写这个系列文章的目的一来是为了搞清楚高斯单位制，而来也是打算复习一下经典电磁学。所以之后的一系列文章都会是在高斯单位制下所做的一系列推导。高斯单位制的定义，在第一篇已经明确了。之后的公式，默认都是在高斯单位制下的，但是对于理解高斯单位制，或许意义不大。本节主要内容是麦克斯韦方程组。

麦克斯韦方程组

上一篇文章已经求出了静电场和静磁场的方程

∇⋅E⃗=4πρ∇×E⃗=0∇⋅B⃗=0∇×B⃗=4πcj⃗\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} &= 4\pi \rho \\ \nabla \times \vec{E} &= 0 \\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \\ \nabla \times \vec{B} &= \dfrac{4\pi}{c} \vec{j} \\ \end{aligned}

对于真空电磁场理论来说，还差一个电与磁之间的相互感应。首先是法拉第电磁感应定律：任意闭合回路上产生的电动势等于此闭合回路围成的曲面上的的磁通量的变化率。不过，比起国际单位制的公式

∮LE⃗dl⃗=−ddt∫SB⃗⋅dS⃗//SI制\oint_L\vec{E}d\vec{l} = -\dfrac{d}{dt}\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S} \qquad // \text{SI制}

我们知道高斯单位制下，电场和磁场量纲是一样的，所以上式还差一个速度量纲，在高斯单位制下，电磁感应定律应该写成

∮LE⃗dL⃗=−dcdt∫SB⃗⋅dS⃗\oint_L\vec{E}d\vec{L} = -\dfrac{d}{cdt}\int_S\vec{B}\cdot d\vec{S}

因为电磁感应定律本来就是实验定律，所以也不存在怎么推导出来的。总之，上式是正确的。微分形式

∇×E⃗=−1c∂B⃗∂t\nabla \times \vec{E} = -\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}

然后是麦克斯韦对于电场变化感应出磁场推测，参考我老师自己的讲义，这样理解：对于非静磁场，∇×j⃗=−∂ρ∂t≠0\nabla \times \vec{j} = -\dfrac{\partial \rho}{\partial t} \neq 0，然而根据∇×B⃗=4πcj⃗\nabla\times \vec{B} = \dfrac{4\pi}{c}\vec{j}，有∇⋅j⃗=0\nabla \cdot \vec{j}=0，所以可以做一个修改

∇×B⃗=4πc(j⃗+j⃗D)\nabla\times \vec{B} = \dfrac{4\pi}{c}(\vec{j} + \vec{j}_D)

其中j⃗D\vec{j}_D称为位移电流，于是

∇⋅(j⃗+j⃗D)=0\nabla \cdot (\vec{j} + \vec{j}_D) = 0

另一方面，根据电荷守恒∇⋅j=−∂ρ∂t\nabla \cdot j = -\dfrac{\partial \rho}{\partial t}，以及∇⋅E⃗=4πρ\nabla \cdot \vec{E} = 4\pi \rho，于是有

∇⋅(j⃗D−14π∂E⃗∂t)=0\nabla \cdot (\vec{j}_D-\dfrac{1}{4\pi}\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}) = 0

猜测（虽然是猜测，只要实验验证过得去就行了）

j⃗D=14π∂E⃗∂t\vec{j}_D = \dfrac{1}{4\pi} \dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}

于是磁感应强度的散度变为

∇×B⃗=4πcj⃗+1c∂E⃗∂t\nabla \times \vec{B} = \dfrac{4\pi}{c}\vec{j} + \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}

现在，真空电磁场的麦克斯韦方程组搞定了

∇⋅E⃗=4πρ∇×E⃗=−1c∂B⃗∂t∇⋅B⃗=0∇×B⃗=4πcj⃗+1c∂B⃗∂t\begin{aligned} \nabla\cdot\vec{E} &= 4\pi \rho \\ \nabla\times\vec{E} &= -\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t} \\ \nabla\cdot\vec{B} &= 0 \\ \nabla\times\vec{B} &= \dfrac{4\pi}{c}\vec{j} + \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \end{aligned}

最后，在加上洛伦兹力公式，就可以做动力学了，这也是一个实验公式

F⃗=q(E⃗+1cv⃗×E⃗)\vec{F} = q(\vec{E} + \dfrac{1}{c}\vec{v}\times\vec{E})

当然，至少量纲是对的。

介质的电磁性质

真空之后，就是介质的电磁学了。

介质极化

介质分子在各种作用下，具有电偶极矩p⃗i\vec{p}_i，定义极化强度

P⃗=∑ip⃗iΔV\vec{P} = \dfrac{\sum_i\vec{p}_i}{\Delta V}

极化强度和束缚电荷密度ρp\rho_p有如下关系：

ρp=−∇⋅P⃗,或积分形式∫VρpdV=−∮SP⃗⋅dS⃗\rho_p = -\nabla\cdot\vec{P},\quad \text{或积分形式}\quad \int_V\rho_pdV = -\oint_S\vec{P}\cdot d\vec{S}

这是因为，对于一个闭合曲面，P⃗⋅dS⃗=ρpl⃗⋅dS⃗\vec{P}\cdot d\vec{S} = \rho_p \vec{l} \cdot d\vec{S}可以看成偶极子部分伸出这个闭合曲面带来的电量损失，根据电荷守恒，就有了这个式子。

设自由电荷密度为ρf\rho_f，那么电场散度

∇⋅E⃗=4π(ρf+ρp)\nabla\cdot\vec{E} = 4\pi (\rho_f+\rho_p)

定义电位移矢量

D⃗=E⃗+4πP⃗\vec{D} = \vec{E} + 4\pi \vec{P}

根据ρp\rho_p和P⃗\vec{P}的关系代入，则有

∇⋅D⃗=4πρf\nabla \cdot \vec{D} = 4\pi\rho_f

定义介质极化率χe\chi_e

P⃗=χeE⃗\vec{P} = \chi_e\vec{E}

以及介电函数ϵ\epsilon

D⃗=ϵE⃗\vec{D} = \epsilon\vec{E}

于是有

ϵ=1+4πχe\epsilon = 1 + 4\pi\chi_e

(这个极化率总觉得怪怪的，还是SI制的极化率看上去舒服一点。)

介质磁化

同样，在各种作用下，介质分子具有磁矩m⃗i=1cia⃗\vec{m}_i=\dfrac{1}{c}i\vec{a}，这里的磁矩定义和SI制不同，但是是严格的，具体是如何定义的，还请看之后关于磁场作用力的文章，如果我能写到那里的话。定义磁化强度

M⃗=∑im⃗iΔV\vec{M} = \dfrac{\sum_i\vec{m}_i}{\Delta V}

这些分子分子电流在宏观上形成剩余电流，称为磁化电流。磁化电流密度j⃗M\vec{j}_M与磁化强度M⃗\vec{M}有关系

IM=∫Sj⃗M⋅dS⃗=∮LcM⃗⋅dl⃗I_M = \int_S \vec{j}_M\cdot d\vec{S} = \oint_L c\vec{M} \cdot d\vec{l}

这是因为，可以考虑曲面SS，计算通过的磁化电流IMI_M，另一方面，磁化强度可以看成一些分子电流小线圈cM⃗=nia⃗c\vec{M} = ni\vec{a}，只有挂在曲面边界上的线圈才对总电流有贡献。微分形式是

∇×M⃗=1cj⃗M\nabla\times\vec{M} = \dfrac{1}{c}\vec{j}_M

此外，除了磁化电流，介质中还有极化电荷随时间变化产生的极化电流密度j⃗p\vec{j}_p

P⃗=∑ieir⃗iΔV,j⃗p=∑ieir⃗˙iΔV=∂P⃗∂t\vec{P} = \dfrac{\sum_i e_i\vec{r}_i}{\Delta V},\qquad \vec{j}_p = \dfrac{\sum_ie_i\dot{\vec{r}}_i}{\Delta V} = \dfrac{\partial \vec{P}}{\partial t}

于是磁场的散度方程变为

∇×B⃗=4πc(j⃗f+j⃗M+j⃗p)+1c∂B⃗∂t\nabla\times\vec{B} = \dfrac{4\pi}{c}(\vec{j}_f+\vec{j}_M+\vec{j}_p) + \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}

定义磁场强度

H⃗=B⃗−4πM⃗\vec{H} = \vec{B}-4\pi\vec{M}

于是有

∇×H⃗=4πcj⃗f+1c∂D⃗∂t\nabla\times\vec{H} = \dfrac{4\pi}{c}\vec{j}_f + \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}

定义磁化率χm\chi_m

M⃗=χmH⃗\vec{M} = \chi_m\vec{H}

磁导率μ\mu

B⃗=μH⃗\vec{B} = \mu\vec{H}

于是有

μ=1+4πχm\mu = 1 + 4\pi\chi_m

综上所述，介质中的麦克斯韦方程组为

∇⋅D⃗=4πρf∇×E⃗=−1c∂B⃗∂t∇⋅B⃗=0∇×H⃗=4πcj⃗f+1c∂D⃗∂t\begin{aligned} \nabla\cdot\vec{D} &= 4\pi\rho_f \\ \nabla\times\vec{E} &= -\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla\cdot\vec{B} &= 0 \\ \nabla\times\vec{H} &= \dfrac{4\pi}{c}\vec{j}_f + \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{aligned}

以及一些关系

D⃗=ϵE⃗P⃗=χeE⃗ϵ=1+4πχeB⃗=μH⃗M⃗=χmH⃗μ=1+4πχm\begin{aligned} &\vec{D} = \epsilon \vec{E} \\ &\vec{P} = \chi_e \vec{E} \\ &\epsilon = 1 + 4\pi \chi_e \\ &\vec{B} = \mu \vec{H} \\ &\vec{M} = \chi_m \vec{H} \\ &\mu = 1 + 4\pi\chi_m &\end{aligned}

  • 参考自郑大师电磁学讲义