戴维森方法

在戴维森方法中，尝试通过在每次内迭代步骤中改变瑞利商来加速预处理投影算法11.8的收敛。

为简单起见，我们这里仅描述戴维森方法的最原始版本，不涉及重启，针对矩阵束 B - \mu A（参见 [99,100,335,329,387]）：

\begin{gather} \mu (x^{(i+1)}) = {\rm max}_{ x \in {\mathcal{D}_i}} \mu(x), \\ \mathcal{D}_i = \mathrm{span}\{x^{(0)}, T(B-\mu^{(0)}A)x^{(0)}, T(B-\mu^{(1)}A)x^{(1)}, T(B-\mu^{(i)}A)x^{(i)}\} \end{gather}\tag{11.16}

由于子空间 {\mathcal D}_i 的维度随着每一步增长，并且所有基向量都需要存储，因此通常需要像预处理投影算法11.8中那样进行重启。一个简单的重启过程是在一定数量的内迭代步骤后停止方法，然后使用最后一个迭代向量作为下一步（外迭代）的初始近似重新开始。

该方法在理论研究上相当复杂；参见 [88,390]。通常使用具有不定预处理器的戴维森方法（通常是 B-\mu^{(0)}A 的对角线），这进一步增加了理论分析的复杂性。

戴维森方法特别受化学界的欢迎（参见 [232,275]），其中涉及的矩阵通常是对角占优的。对于这类问题，即使使用简单的对角预处理，该方法也常常能快速收敛。