引言

我们考虑一类广义的对称正定特征值问题，其形式为

(A - \lambda B)x=0

其中A和B是n阶实对称矩阵，且假设A为正定矩阵。 这描述了一个具有离散谱的正则矩阵束A - \lambda B，包含n个实数特征值，其中某些可能为无穷大， \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n。若B为非奇异矩阵，则所有特征值均为有限值。若B为半正定矩阵（例如，B=I），则所有特征值均为正数， 我们考虑计算矩阵束A - \lambda B的最小m个特征值的问题。当B为不定矩阵时，考虑矩阵束B - \mu A及其特征值更为方便，

\mu = \frac 1 \lambda, \quad\mu_{\min} = \mu_n \leq \cdots \leq \mu_1 = \mu_{\max},

我们希望计算最大的m个特征值，即\mu_1, \ldots, \mu_m。计算最小m个特征值\mu_i的问题可以通过将B替换为-B来重新表述为前述问题。在屈曲问题中，最大的和最小的特征值\mu_i都具有重要意义。

众所周知，满足(B - \mu_i A) x_i = 0的（右）特征向量x_i可以选择为正交的，具体含义如下：

(x_i,A x_j) = (x_i, B x_j) = 0, \qquad i \neq j.

一类重要的特征值问题是网格特征值问题，源自数学物理中自伴微分算子的边界值问题的离散化。网格特征值问题具有以下典型特性：

• 矩阵A和B的规模n很大，远大于所需特征对的数量m。有时，必须解决一系列相似的特征值问题，且n不断增加。
• A和B是稀疏的。即使采用稀疏表示，非常大的矩阵也无法完全适应可用内存。在某些情况下，矩阵A和B无法以显式矩阵形式提供。
• 无法廉价地对A或形式为A + \beta B的任何矩阵进行分解。我们只能执行A与向量的乘法运算。
• 有时可能廉价地对B进行分解，但通常情况下，我们只能高效地执行B与向量的乘法运算。
• 矩阵A是病态的。通常，B的条件数小于A。
• 所需的特征对数量m可以选择，使得感兴趣的特征值与谱的其余部分良好分离；换句话说，
  \frac{ \mu_m - \mu_{m+1} } { \mu_{\max} - \mu_{\min}}
  的比值不太小。这意味着矩阵A^{-1}B的不变子空间由感兴趣的特征向量张成，是良态的，因此计算m个特征对的问题是良定的。在许多应用中，当矩阵束B - \mu A的谱近似于紧算子的谱时，可以建立这一性质，使得零是近似特征值的唯一凝聚点。

这类问题出现在结构力学等领域，其中通常称A为刚度矩阵，B为质量矩阵。质量矩阵通常是正定的，但在某些应用中，例如在屈曲问题中，矩阵B仅为非负的，甚至是非定的，而A为正定的。

为了简洁起见，在本节的其余部分，我们仅处理矩阵束B - \mu A。当B=I且\lambda = 1 / \mu时，我们的结果和论证可以直接应用于矩阵束A - \lambda I。

现在，我们简要考虑两种传统的广义特征值问题求解方法。

一种流行的方法是基于移位-逆变换算子的乘法：

x^{(i+1)}=(B - \mu A)^{-1}Ax^{(i)};

参见第4.3节。该方法允许我们快速计算最接近移位\mu的特征值，假设这一操作可以通过B - \mu A的显式高效三角分解来实现。通过适当选择的变量移位，例如基于瑞利商 (x) = (x,Bx)(x,Ax)， 对称特征值问题的收敛速度为三次方。然而，对于非常大的问题，这种分解通常成本过高。取而代之的是，可以采用迭代系统求解器对相应的线性系统进行近似求解。这样，我们得到一个内-外迭代方法，其中外迭代可能因内步骤数量不足而显著减慢。如果我们考虑内-外迭代步骤的总数，收敛速度通常仅为线性。

如果使用预处理的迭代求解器进行内迭代，这种方法就变成了一种预处理特征值求解器。我们将在第11.3.7节讨论这种方法。

另一种方法是在B可以高效分解的情况下使用，这样我们可以通过AB^{-1}或B^{-1}A乘以向量，并使用传统的Lanczos方法；参见第4.4节。在这种情况下，单次迭代成本不高，但收敛可能较慢。如果B是不定的，我们需要使用多项式方法在中谱中寻找特征值\lambda_i，这是一个已知难题。如果B是正定的，情况则较为简单，因为我们希望找到极值（最小）特征值\lambda_i。然而，

\frac{\lambda_{m+1} - \lambda_m}{\lambda_{\max} - \lambda_{\min}}

这一比值通常表征\lambda_m的收敛速度，由于分母较大，可能导致收敛缓慢。

因此，上述传统方法通常对于非常大的特征值问题效率不高。预处理是显著提升性能的关键。