协变海森矩阵的求逆（技术考量）

由于\mathrm{Stief}(n,k)的切空间是{\mathcal R}^{n \times k}的一个子空间，因此必须在该子空间上稳定地求协变海森矩阵。这要求设计来求解D_H G = V以得到H的任何算法，实际上在最小二乘或其他某种意义上必须是伪协变换器。

第二个考虑因素是，许多有用的函数f(Y)具有以下性质：对于所有块对角正交矩阵Q，f(YQ) = f(Y)（即，

Q =\left[\begin{array}{cccc} Q_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & Q_2 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & Q_p \end{array}\right],

其中Q_i是正交矩阵）。在这种情况下，所有形式如下的切向量

V =\left[\begin{array}{cccc} H_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & H_2 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & H_p \end{array}\right],

其中H_i是反对称的，具有性质D_H f = 0。这些额外的对称向量随后成为线性系统D_H G = V的零向量。由于这些零方向，切空间的有效维度降低了零空间的维度（这是由dimension函数返回的维度）。

因此，我们看到为了求协变海森矩阵，我们必须小心使用一个稳定的求逆方案，该方案将投影出不符合无穷小约束方程的H分量以及那些在f的附加对称性方向上的分量。invdgrad函数通过共轭梯度程序执行协变海森矩阵的稳定求逆，其中dgrad函数调用nosym函数来投影出任何额外的对称性分量。