流形

流形，记作 M，是具有微分结构的点的集合。简而言之，这意味着我们能够在 M 上定义的某些合理类别的函数，即 C^\infty 函数，进行求导。这种可微函数的类别可能有些随意，但必须满足一些技术上的相容性条件。在本节中，我们不讨论这些条件。

我们考虑流形 \mathrm{Stief}(n,k)（为了更清晰地解释，我们仅讨论实数版本的施蒂费尔流形），其点表示为满足约束条件 Y^*Y=I 的 n \times k 矩阵。我们将选择那些限制在 \mathrm{Stief}(n,k) 上的实值函数作为我们的 C^\infty 函数集合，这些函数是关于 \mathrm{Stief}(n,k) 在 \mathcal{R}^{n \times k} 意义上的 C^\infty({\mathcal R}^{n \times k}) 函数。不难说服自己，这样的函数集合必然满足任何技术上的相容性条件。

此外，M = \mathrm{Stief}(n,k) 是一个光滑流形。这意味着对于 \mathrm{Stief}(n,k) 中的每一个点，我们都可以构建一个 C^\infty 的局部坐标系。例如，考虑点

Y = \left[ \begin{array}{c} I \cr 0 \end{array} \right]

以及 Y 附近的一个点，

\tilde{Y} = \left[ \begin{array}{c} A \cr B \end{array} \right].

对于小的 B，我们可以通过求解对称矩阵 S 使得 S^*S = I -B^*B，并令 A = e^{\Delta} S，从而用 B 的分量和任意小的反对称矩阵 \Delta 的分量来表示 A。对于足够小的 B 和 \Delta，这总是可以平滑且局部一对一地完成。由于 B 的分量都是平滑函数（作为周围 \mathcal{R}^{n \times k} 空间的坐标函数的限制），并且 A 的解对于足够小的 B 和 \Delta 是 C^\infty({\mathcal R}^{(n-k) \times k} \oplus {\mathcal R}^{k \times k})，我们已经证明了 \mathrm{Stief}(n,k) 中的任何点都可以平滑地表示为 (n-k)k+k(k-1)/2 = nk -k(k+1)/2 个变量的函数。\left[ \begin{array}{c} I \cr 0 \end{array} \right] 与 \mathrm{Stief}(n,k) 中的其他点的唯一区别仅在于欧几里得刚性运动；因此，这一陈述适用于 \mathrm{Stief}(n,k) 中的所有点。

总结一下，流形是一个具有一组可微函数定义的点集，以及局部坐标化的概念，其中依赖坐标可以表示为独立坐标的平滑函数。具体来说，我们发现总是需要 nk - k(k+1)/2 个独立坐标来坐标化 \mathrm{Stief}(n,k) 点的邻域。这个数被称为流形的维数，并且对于流形的每个点都应该是相同的（如果不是，那么流形要么是不连通的，要么实际上不是光滑的）。