计算所得特征值的误差界限

从(7.105)以及特征值和特征向量的扰动理论中，可以证明，在残差范数\Vert r\Vert _2和\Vert s^{\ast}\Vert _2的一阶近似下，存在一个矩阵A的特征值\lambda满足

\vert\lambda - \widetilde\lambda \vert \lesssim \frac{1}{\vert\widetilde{y}^*\widetilde{x}\vert} \max\left\{\Vert r\Vert _2, \Vert s^{\ast} \Vert _2 \right\}, \tag{7.106}

其中“\lesssim”表示“小于”在残差范数\Vert r\Vert _2和\Vert s^{\ast}\Vert _2的一阶近似下。注意，个体条件数 c_{\lambda} 定义为

c_{\lambda}\equiv \frac {1}{\vert y^{\ast} x\vert}=\sec\theta(x,y),

其中x和y分别是矩阵A的特征向量和左特征向量，并且归一化使得 \Vert x\Vert _2 = \Vert y\Vert _2 = 1。由于精确的x和y通常是未知的，实际上，我们可以简单地通过1/\vert\widetilde y^{\ast} \widetilde x\vert来估计这个条件数c_{\lambda}。注意到c_{\lambda}\ge 1，当且仅当A是厄米矩阵时取等号。

如果近似的左特征向量\widetilde y不可用，一般来说，不存在直接关于\vert\lambda - \widetilde\lambda \vert的界限。方程(7.104)将是唯一可用来解释计算得到的特征值\widetilde\lambda和特征向量\widetilde x的精度的依据。