收敛性质

随着收敛的发生，H_k 的副对角线元素趋向于零，并且最期望的特征值近似值作为 A 的舒尔分解中 R 的前 k \times k 块的特征值出现。基向量 V_k 趋向于正交的舒尔向量。

另一种解释源于以下事实：每个这样的移位周期都会隐式地应用一个以 A 为变量的次数为 p 的多项式到初始向量上。

v_1 = \psi(A)v_1 \text{ 其中 } \phi(\lambda) = \prod_{j=1}^{p}(\lambda - \mu_j). \tag{7.15}

这个多项式的根是 QR 过程中使用的移位，这些移位可以选择来增强初始向量在期望特征值对应的本征向量方向上的分量，并抑制不希望方向上的分量。当然，这是可取的，因为它迫使初始向量进入与期望特征值相关联的不变子空间。这反过来迫使 f_k 变小，从而导致收敛。详细信息可以在 [419] 中找到。

有一个相当直观的解释来说明这种通过隐式重启对初始向量 v_1 的重复更新是如何导致收敛的。如果 v_1 表示为 A 的特征向量 \{q_j\} 的线性组合，那么

v_1 = \sum_{j=1}^n q_j \gamma_j \quad \Rightarrow \quad\psi(A)v_1 = \sum_{j=1}^n q_j \psi(\lambda_j) \gamma_j .

对相同的（即使用相同的移位）多项式重复应用 \ell 次迭代将导致第 j 个原始展开系数的衰减因子为

\left( \frac{\psi(\lambda_j)}{\psi(\lambda_1)} \right)^{\ell} \ ,

其中特征值按照 \vert\psi(\lambda_j)\vert 的递减值排序。前 k 个特征值在这个展开中变得占主导地位，而其余的特征值随着迭代的进行变得越来越不重要。因此，初始向量 v_1 被强制进入一个不变子空间，正如所期望的那样。由精确移位机制提供的自适应选择进一步增强了在这个展开中对所需分量的隔离。因此，随着迭代的进行，所需的特征值被更好地近似。

值得注意的是，如果 m = n，那么 f_{m} = 0，这个迭代过程与隐式移位 QR 迭代完全相同。即使对于 m < n，V_m 的前 k 列和海森堡子矩阵 H_m(1:k,1:k) 在数学上等价于使用相同移位 \mu_j 的全隐式移位 QR 迭代中出现的矩阵。从这个意义上说，隐式重启 Arnoldi 方法可以看作是隐式移位 QR 迭代的截断。根本的区别在于，标准的隐式移位 QR 迭代选择移位来从底部开始驱动 H_n 的副对角线元素为零，而隐式重启 Arnoldi 方法中的移位选择是为了从顶部开始驱动 H_m 的副对角线元素为零。将获得类似于移位幂方法的收敛性。

当使用精确移位策略时，隐式重启可以被视为一种从初始向量中抑制不希望分量的手段，也可以直接迫使初始向量成为所需本征向量的线性组合。有关 IRAM 收敛性的信息，请参见 [419]；有关厄米矩阵 A 的其他可能移位策略，请参见 [22,421]；有关将隐式重启与其他方案进行比较的研究，请参见 [292,333]。