收缩

当一个Ritz值足够接近某个特征值时，当前子空间的剩余部分将已经包含丰富的邻近特征对成分，因为我们已经在每一步中选择了与期望特征值接近的Ritz向量。我们可以利用这些信息作为计算下一个特征向量的子空间基础。为了防止已计算的特征向量重新进入计算过程，我们在Jacobi-Davidson算法中使新的搜索向量显式地与已计算的特征向量正交。这种技术被称为显式收缩。我们将在稍详细地讨论这一点。

设\widetilde{x}_1,\ldots,\widetilde{x}_{k-1}表示已接受的特征向量近似，并假设这些向量是正交归一的。矩阵\widetilde{X}_{k-1}的列向量为\widetilde{x}_j。为了找到下一个特征向量\widetilde{x}_k，我们将Jacobi-Davidson算法应用于收缩矩阵 ¹

(I-\widetilde{X}_{k-1}\widetilde{X}_{k-1}^\ast)\,A\,(I-\widetilde{X}_{k-1}\widetilde{X}_{k-1}^\ast) ,

这将导致一个修正方程，形式如下

{P}_{m}(I-\widetilde{X}_{k-1}\widetilde{X}_{k-1}^\ast)(A-\theta^{(m)}_j I)(I-\widetilde{X}_{k-1}\widetilde{X}_{k-1}^\ast){P}_{m} t_j^{(m)} = -r_j^{({m})}, \tag{4.50}

其中{P}_{m}\equiv (I-{u}_j^{(m)}{{u}_j^{(m)}}^{\ast})，需要为每个新的特征向量近似{u}_j^{(m)}求解修正t_j^{(m)}，对应的Ritz值为\theta_j^{(m)}。在[172]中，通过数值证据表明，对于修正方程，显式地对由\widetilde{X}_{k-1}表示的向量进行收缩是非常推荐的，但在计算投影矩阵时（将A投影到由连续近似{v}_j张成的子空间上，以寻找第k个特征向量），并不需要包含这种收缩。投影矩阵可以计算为{V}_{m}^\ast A{V}_{m}，而不会显著损失精度。

1. 在利用近似特征向量进行收缩时，若计算出的特征值与剩余特征值之间有良好的分离度，则可能会在特征值上引入数量级为 \epsilon^2 的误差[353，第5.1节]。