为什么是特征值模板？

在很多大规模科学或工程计算中，包括从计算电路频率响应到建筑的地震响应，再到分子的能级，都需要求解矩阵的特征值和特征向量。特征值问题有多种数学表述方式，且有非常多的数值求解方法。本书旨在指导读者为特征值问题找到最合适的数值方法。

目前，针对许多特征值问题，尤其是中小规模稠密矩阵，已存在优秀的方法。这些算法已在MATLAB[319] ¹、LAPACK[12]等编程环境和库以及其他商业和公共软件包中得到应用。然而，对于超大规模特别是稀疏矩阵的特征值问题，目前并没有单一的最佳方法。众多方法及其对矩阵数学特性的复杂依赖，还有在效率和精度间的权衡，使得专家乃至普通用户都难以找到最适合特定问题的方法。虽然GAMS（可用数学软件指南）² 和NETLIB ³ 等优秀在线搜索设施和软件库存在，允许基于库名、子程序名、关键词及数值计算主题分类进行搜索，但它们无法针对特定问题给出最佳方法的建议。因此，本书作者和其他专家常被咨询如何选择算法。这一现状促使我们将知识提炼成书，尽可能广泛传播。

本书结构如下：首先，我们构建了一个决策树，能够引导用户找到最佳方法。树的每个节点针对问题的数学结构、待计算量及矩阵运算成本提出问题。其次，在决策树的叶节点，我们展示了推荐的算法模板，并提供相关软件指引。模板是对算法的高层次描述，便于理解其工作原理、用户可调整的参数以控制效率和精度，以及如何解读输出。我们将在下文详细讨论这一结构。

本书源于《线性系统求解模板：迭代方法构建模块》（Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods）[41]。该早期书籍（部分作者与本书相同）为线性系统这一更简单问题提供了决策树和迭代方法模板。特征值问题本质上比线性系统更复杂，这意味着我们的理解程度因具体问题而异。此外，算法也更为复杂。因此，与早期的《模板》书不同，我们未尝试以统一风格和编程语言提供每个模板的完整实现，而是提供高层次模板，并指向可用语言中的优秀公共域实现。所有这些实现均可通过我们称为ETHOME的网站访问，指向http://www.netlib.org/etemplates/。该网站将随新算法的发展而更新。（译者注：然而并没有？）

本书涵盖的特征值问题种类繁多。一些算法广为人知且经过充分研究，而其他领域仍处于加强研究中。这使得对于不同的问题，我们的叙述风格有所不同。对于有良好“黑盒”解决方案的已知领域，我们会保持简洁，主要面向非专家读者；而另一边，我们会综述一些当前的研究成果。

在大多数章节中，我们明确列出了贡献作者。这不仅是为了表彰，也体现了对文本的个人责任。所有章节都提供了足够的参考资料，作为通往特征值问题更丰富细节和专业知识的窗口。

1. MATLAB是MathWorks公司的商标。
2. http://gams.nist.gov/，由NIST (National Institute of Standards and Technology)开发。
3. http://www.netlib.org/，由Oak Ridge National Laboratory维护。