收敛性质

关于如何通过隐式重启对初始向量 v_1 进行反复更新从而实现收敛，有一个相当直观的解释。如果 v_1 表示为矩阵 A 的特征向量 \{x_j\} 的线性组合，那么

v_1 = \sum_{j=1}^n x_j \gamma_j \quad \Rightarrow \quad\psi(A)v_1 = \sum_{j=1}^n x_j \psi(\lambda_j) \gamma_j .

重复应用相同的多项式（即使用相同的位移）进行 \ell 次迭代，会导致原始展开系数中的第 j 项被一个因子所衰减

\left( \frac{\psi(\lambda_j)}{\psi(\lambda_1)} \right)^{\ell} \ ,

其中特征值已根据 \vert\psi(\lambda_j)\vert 的递减值进行排序。在这个展开中，前 k 个特征值变得占主导地位，而其余的特征值随着迭代的进行变得越来越不重要。因此，初始向量 v_1 被强制进入一个不变子空间，正如所愿。通过精确位移机制提供的自适应选择进一步增强了这种展开中所需成分的隔离，并且随着迭代的进行，所需特征值的近似越来越好。

值得注意的是，如果 m = n，那么 r_{m} = 0，这个迭代过程与隐式位移的QR迭代完全相同。即使对于 m < n，矩阵 V_m 的前 k 列和 T_m 的前 k \times k 三对角子矩阵在数学上等价于使用相同位移 \mu_j 的全隐式位移QR迭代中出现的矩阵。从这个意义上说，IRLM可以看作是隐式位移QR迭代的截断。根本的区别在于，标准的隐式位移QR迭代选择位移以自下而上地驱动 T_n 的次对角元素为零，而隐式重启的Lanczos方法中的位移选择则是自上而下地驱动 T_m 的次对角元素为零。当然，这里的隐式重启方案的收敛类似于“移位幂”方法，而全隐式位移QR迭代则类似于“逆迭代”方法。

因此，精确位移策略既可以看作是从初始向量中抑制不需要成分的手段，也可以看作是直接迫使初始向量成为所需特征向量的线性组合。关于IRLM的收敛性信息，请参见[419]，关于厄米矩阵 A 的其他可能位移策略，请参见[22,421]。读者可以参考[293,334]，以了解将隐式重启与其他方案进行比较的研究。